Exponenter på bråkform

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a,a, vilket skrivs a\sqrt{a}, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a.a. Exempelvis är 16\sqrt{16} lika med 44 eftersom 44=164 \cdot 4 = 16 och på samma sätt är 25\sqrt{25} lika med 55 eftersom 55=25.5\cdot 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

aa=aeller(a)2=a\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \quad \text{eller} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal aa som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.a.
Begrepp

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 273,\sqrt[3]{27}, vilket utläses kubikroten ur 2727 eller "tredje roten ur 2727", så anger 33:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 33 gånger blir 27,27, alltså 3.3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är an\sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig själv nn gånger är lika med a.a.

ananann st.=a\underbrace{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a}\, \cdot \ldots \cdot \, \sqrt[n]{a}}_{n\text{ st.}}=a

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.
Regel

Potenser på formen a1/na^{1/n}

Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n1/n med ett positivt heltal nn som anger typen av rot. Till exempel kan 273\sqrt[3]{27} skrivas som 271/327^{1/3} och 1005\sqrt[5]{100} kan skrivas som 1001/5.100^{1/5}.

Regel

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 161/2271/3+(5)2. 16^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Potenser på formen ab/na^{b/n}

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 11, t.ex. 82/5,8^{2/5}, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: 82/5=825=(85)2. 8^{2/5}=\sqrt[5]{8^2} = \left(\sqrt[5]{8}\right)^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n}
Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 28,\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2\sqrt{2} eller 8\sqrt{8} separat men man kan skriva om 28\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} som 16,\sqrt{16}, vilket är lika med 4.4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

anbn=abn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

Regel

anbn=abn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 632. \dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Visa lösning Visa lösning

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}

{{ subject.displayTitle }}
Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a,a, vilket skrivs a\sqrt{a}, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a.a. Exempelvis är 16\sqrt{16} lika med 44 eftersom 44=164 \cdot 4 = 16 och på samma sätt är 25\sqrt{25} lika med 55 eftersom 55=25.5\cdot 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

aa=aeller(a)2=a\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \quad \text{eller} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal aa som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.a.
Begrepp

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 273,\sqrt[3]{27}, vilket utläses kubikroten ur 2727 eller "tredje roten ur 2727", så anger 33:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 33 gånger blir 27,27, alltså 3.3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är an\sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig själv nn gånger är lika med a.a.

ananann st.=a\underbrace{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a}\, \cdot \ldots \cdot \, \sqrt[n]{a}}_{n\text{ st.}}=a

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.
Regel

Potenser på formen a1/na^{1/n}

Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n1/n med ett positivt heltal nn som anger typen av rot. Till exempel kan 273\sqrt[3]{27} skrivas som 271/327^{1/3} och 1005\sqrt[5]{100} kan skrivas som 1001/5.100^{1/5}.

Regel

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 161/2271/3+(5)2. 16^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Potenser på formen ab/na^{b/n}

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 11, t.ex. 82/5,8^{2/5}, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: 82/5=825=(85)2. 8^{2/5}=\sqrt[5]{8^2} = \left(\sqrt[5]{8}\right)^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n}
Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 28,\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2\sqrt{2} eller 8\sqrt{8} separat men man kan skriva om 28\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} som 16,\sqrt{16}, vilket är lika med 4.4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

anbn=abn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

Regel

anbn=abn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 632. \dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Visa lösning Visa lösning
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} chrome_reader_mode
{{ 'mldesktop-selftest-label' | message }}
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}