{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Algebra och icke-linjära ekvationer

Exponenter på bråkform

Teori

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a,a, vilket skrivs a\sqrt{a}, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a.a. Exempelvis är 44 lika med 16\sqrt{16} eftersom 44=164 \cdot 4 = 16 och på samma sätt är 25\sqrt{25} eftersom 55=25.5\cdot 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

aa=aeller(a)2=a\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \quad \text{eller} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal aa som har kvadrerats så tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.a.

Villkor

Villkor för kvadratrötter
  • Om man beräknar kvadratroten ur 99 kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet 3,3, trots att även (-3)2(\text{-} 3)^2 är lika med 9.9. Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
  • Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom ()()=(+).(-)\cdot (-)=(+). Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är -16\sqrt{\text{-} 16} odefinierat.
Visa mer

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 273,\sqrt[3]{27}, vilket utläses kubikroten ur 2727 eller "tredje roten ur 2727", så anger 33:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 33 gånger blir 27,27, alltså 3.3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är an\sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig själv nn gånger är lika med a.a.

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.

Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren.


Kvadratrot och tredje roten ur

För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen 5\sqrt{\phantom{5}} (2nd + x2x^2). Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja 1(3\sqrt[3]{\phantom{1}(} följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

TI-beräkning som visar en 4a

Därefter trycker man på MATH och väljer 1x,\sqrt[x]{\phantom{1}}, där xx:et står för en godtycklig rot.

TI-meny som visar MATH, med x:te roten ur valt

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.

TI-beräkning som visar en 4:e roten ur 81
Visa mer

Potenser på formen a1/na^{1/n}

Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n1/n med ett positivt heltal nn som anger typen av rot. Till exempel kan 273\sqrt[3]{27} skrivas som 271/327^{1/3} och 1005\sqrt[5]{100} kan skrivas som 1001/5.100^{1/5}.

Regel

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}
Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra:

(9)2=9. \left(\sqrt{9}\right)^2=9. Ur detta kan man lösa ut 9\sqrt{9} genom att höja upp båda led med 1/21/2 och använda potenslagarna.

(9)2=9\left(\sqrt{9}\right)^2=9
((9)2)1/2=91/2\left(\left(\sqrt{9}\right)^2\right)^{1/2}=9^{1/2}
(9)212=91/2\left(\sqrt{9}\right)^{2\cdot\frac{1}{2}}=9^{1/2}
(9)1=91/2\left(\sqrt{9}\right)^1=9^{1/2}
a1=aa^1=a
9=91/2\sqrt{9}=9^{1/2}
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 91/2.9^{1/2}. Denna regel brukar uttryckas som a=a1/2.\sqrt{a}=a^{1/2}. På liknande sätt kan man motivera att a3=a1/3,\sqrt[3]{a}=a^{1/3}, eller mer generellt an=a1/n.\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Visa mer

Exempel

Beräkningar med rotuttryck

Beräkna utan räknare: 161/2271/3+(5)2. 16^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2.

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till 1/21/2 betyder samma sak som kvadratroten ur, vilket ger att 161/216^{1/2} detsamma som 16.\sqrt{16}. Den andra termen, 271/3,27^{1/3}, kan skrivas som 237\sqrt[3]27 dvs det tal som gånger sig självt 33 gånger blir 27.27. För den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

161/2271/3+(5)216^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
16271/3+(5)2\sqrt{16}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
16273+(5)2\sqrt{16}-\sqrt[3]{27}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
43+(5)24-3+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
43+54-3+5
66
Visa mer

Potenser på formen ab/na^{b/n}

En potens med ett bråk i exponenten där täljaren är något annat än 1,1, t.ex. 82/5,8^{2/5}, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens:

82/5=825=(85)2. 8^{2/5}=\sqrt[5]{8^2} = \left(\sqrt[5]{8}\right)^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n}

Man kan utgå från t.ex. 825\sqrt[5]{8^2} och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.

825\sqrt[5]{8^2}
an=a1n\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}
(82)15\left(8^2\right)^{\frac 1 5}
82158^{2\cdot \frac 1 5}
8258^{\frac 2 5}

Rotuttrycket 825\sqrt[5]{8^2} kan alltså skrivas som 82/5.8^{2/5}. Med samma motivering som för abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n} kan man även visa att (an)b=ab/n.\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=a^{b/n}.

Visa mer

Digitala verktyg

Exponenter på bråkform på räknare


Exponenter på bråkform

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om \wedge hamnar i exponenten.

TI-beräkning som visar potens med bråk utan parenteser
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Visa mer

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 28,\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}, finns det räkneregler för att skriva om uttrycken, vilket kan göra dem lättare att beräkna eller förenkla. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2\sqrt{2} eller 8,\sqrt{8}, men med regeln för multiplikation med rotuttryck kan man förenkla beräkningen. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

anbn=abn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}
En produkt av två rotuttryck, t.ex. 2434\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{3}, kan skrivas som roten ur hela produkten: 234.\sqrt[4]{2\cdot 3}. Man kan motivera varför genom att skriva 2434\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3} som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
2434\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{3}
21/431/42^{1/4}\cdot 3^{1/4}
(23)1/4(2\cdot 3)^{1/4}
234\sqrt[4]{2\cdot 3}
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då ab,\sqrt{a\cdot b}, inte ab2.\sqrt[2]{a\cdot b}.
Visa mer

Regel

anbn=abn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}
En kvot av två rotuttryck, t.ex. 2434,\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}, kan skrivas som roten ur en kvot: 234\sqrt[4]{\frac{2}{3}}. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
2434\dfrac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}
21/431/4\dfrac{2^{1/4}}{3^{1/4}}
(23)1/4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1/4}
234\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}
Regeln gäller om aa och bb är reella, och aa är icke-negativt, medan bb måste vara positivt för att undvika nolldivision. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man skriva ab\sqrt{\frac{a}{b}} och inte ab2.\sqrt[2]{\frac{a}{b}}.
Visa mer

Exempel

Förenkla rotuttrycket

Beräkna utan räknare: 632. \dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att slå ihop och skriva om lite kan vi få ut ett heltal på slutet.

632\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
632\dfrac{\sqrt{6\cdot 3}}{\sqrt{2}}
182\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}
182\sqrt{\dfrac{18}{2}}
9\sqrt{9}
33

Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 23.2\cdot3.

632\dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
2332\dfrac{\sqrt{2\cdot3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
2332\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
33\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
aa=a \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}= a
33
Visa mer

Uppgifter