{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Algebra

Ekvationer

Teori

Ekvation

En ekvation är en likhet mellan två uttryck med minst en obekant variabel, oftast x.x. Man kan sätta ett likhetstecken mellan exempelvis x4x^4 och 15x+x15x + \sqrt{x}: x4=15x+x. x^4 = 15x + \sqrt{x}.

Det som står till vänster om likhetstecknet kallas för vänsterled (VL) och det till höger kallas högerled (HL).

Exempel

Ställ upp en ekvation
Visa mer

Ekvationslösning

En lösning till en ekvation är det eller de värden på den obekanta som gör att likhetens vänster- och högerled blir lika stora. Exempelvis är x=5x={\color{#0000FF}{5}} lösning till ekvationen 3x=10+x3x=10+x eftersom 35=10+515=15. 3 \cdot {\color{#0000FF}{5}}=10+{\color{#0000FF}{5}} \quad \Leftrightarrow \quad 15=15. Det finns olika metoder för att lösa en ekvation:

  • Balansmetoden
  • Inspektionsmetoden

Balansmetoden

Balansmetoden är den vanligaste metoden inom ekvationslösning och innebär att man löser en ekvation algebraiskt, dvs. genom att räkna fram svaret. Målet är att få den obekanta ensam i ena ledet (oftast VL).

x= ...x=\ ...

Det får man genom att "ta bort" allting annat, och till det används det motsatta räknesättet. I ekvationen

x5=10 x-5 = 10 ska -5\text{-} 5 "tas bort", och det motsatta räknesättet till subtraktion är addition. Man ska därför addera 5 i VL, och eftersom en ekvation är en likhet måste man göra samma sak i HL för att inte bryta likheten. På samma sätt är multiplikation och division motsatta räknesätt. Så länge man gör samma sak på båda sidor kan man i princip göra vad som helst.

Balansmetoden rules.svg
Vissa operationer, som t.ex. kvadrering, måste man dock vara försiktig med eftersom dessa kan ge upphov till falska eller borttappade rötter.

Exempel

Ekvation med variabeln i båda led
Visa mer

Exempel

Lös ekvationen
Visa mer

Exempel

Ekvation med variabeln i nämnaren
Visa mer

Inspektionsmetoden

Om det är svårt att lösa ut xx med balansmetoden, kan man i vissa fall tolka ekvationen och "se" vad lösningen blir. I ekvationen 3x5=93^{x-5}=9 kan man skriva om 99 som 32.3^2.

Inspektionsmetoden68357.svg
För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika. Då får man den enklare ekvationen x5=2x-5=2, som har roten x=7x=7 och som också löser ursprungsekvationen.

Prövning av rot

När man har löst t.ex. en ekvation kan man pröva sin rot, alltså sin lösning, för att kontrollera att man gjort rätt. Detta gör man genom att sätta in roten i den ursprungliga ekvationen och beräknar värdet av uttrycket i vänster- och högerledet var för sig. Om leden blir lika stora har man löst ekvationen korrekt och man brukar skriva

VL=HL. \text{VL}=\text{HL}. Om leden inte är lika stora har man antingen löst ekvationen fel eller har man fått så kallade falska rötter. Då skriver man VLHL.\text{VL} \neq \text{HL}. Om insättningen görs i ekvationen direkt, bör man sätta ett litet frågetecken ovanför likhetstecknet eftersom man inte vet om likheten gäller eller inte.

x=3x=3

x=4x=4

x=5x=5

x=6x=6

Exempel

Pröva en ekvations lösning
Visa mer

Uppgifter