Algebra

Ekvationer

Teori

Ekvation

En ekvation är en likhet mellan två uttryck med minst en obekant variabel, oftast x.x. Man kan sätta ett likhetstecken mellan exempelvis x4x^4 och 15x+x15x + \sqrt{x}: x4=15x+x. x^4 = 15x + \sqrt{x}.

Det som står till vänster om likhetstecknet kallas för vänsterled (VL) och det till höger kallas högerled (HL). Den eller de variabelvärden som gör att likheten i är uppfylld kallas för ekvationens lösning eller rot.

Exempel

Ställ upp en ekvation

Ekvationslösning

En lösning till en ekvation är det eller de värden på den obekanta som gör att likhetens vänster- och högerled blir lika stora. Exempelvis är x=5x={\color{#0000FF}{5}} lösning till ekvationen 3x=10+x3x=10+x eftersom 35=10+515=15. 3 \cdot {\color{#0000FF}{5}}=10+{\color{#0000FF}{5}} \quad \Leftrightarrow \quad 15=15. Det finns olika metoder för att lösa en ekvation:

  • Balansmetoden
  • Inspektionsmetoden

Balansmetoden

När man använder balansmetoden är målet att få x ensamt i ena ledet. Det får man genom att "ta bort" allting annat, och till det används det motsatta räknesättet. I ekvationen x5=10 x-5 = 10 ska -5\text{-} 5 "tas bort", och det motsatta räknesättet till subtraktion är addition. Man ska därför addera 5 i VL, och eftersom en ekvation är en likhet måste man göra samma sak i HL för att inte bryta likheten. På samma sätt är multiplikation och division motsatta räknesätt. Så länge man gör samma sak på båda sidor kan man i princip göra vad som helst.

Balansmetoden rules.svg
Vissa operationer, som t.ex. kvadrering, måste man dock vara försiktig med eftersom dessa kan ge upphov till falska eller borttappade rötter.

Exempel

Ekvation med variabeln i båda led

Exempel

Lös ekvationen

Exempel

Ekvation med variabeln i nämnaren

Inspektionsmetoden

Om det är svårt att lösa ut xx med balansmetoden, kan man i vissa fall tolka ekvationen och "se" vad lösningen blir. Till exempel kan man i ekvationen 3x5=93^{x-5}=9 skriva om 99 som 32.3^2.

Exempel på när inspektionsmetoden är lämplig
För att likheterna ska gälla måste det som står i de gröna lådorna vara lika. Då får man de enklare ekvationerna x5=2x-5=2 och x=6x=6, vilka har rötterna x=7x=7 och x=6.x=6. Dessa löser också respektive ursprungsekvation.

Prövning av rot

När man har löst t.ex. en ekvation kan man pröva sin rot, alltså sin lösning, för att kontrollera att man gjort rätt. Detta gör man genom att sätta in roten i den ursprungliga ekvationen och beräknar värdet av uttrycket i vänster- och högerledet var för sig. Om leden blir lika stora har man löst ekvationen korrekt och man brukar skriva VL=HL. \text{VL}=\text{HL}. Om leden inte är lika stora har man antingen löst ekvationen fel eller har man fått så kallade falska rötter. Då skriver man VLHL.\text{VL} \neq \text{HL}. Om insättningen görs i ekvationen direkt, bör man sätta ett litet frågetecken ovanför likhetstecknet eftersom man inte vet om likheten gäller eller inte.

x=3x=3

x=4x=4

x=5x=5

x=6x=6

Exempel

Pröva en ekvations lösning