{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Algebra

Ekvationer

Teori

Ekvation

En ekvation är en likhet mellan två uttryck med minst en variabel, oftast x.x. Man kan sätta ett likhetstecken mellan exempelvis x4x^4 och 15y+x15y + \sqrt{x}: x4=15y+x. x^4 = 15y + \sqrt{x}.

Det som står till vänster om likhetstecknet kallas för vänsterled (VL) och det till höger kallas högerled (HL).

Exempel

Ställ upp en ekvation

Maria har köpt 8 bullar. Hennes kollega Henrik är hungrig och äter tre gånger fler bullar är Maria. Ställ upp en ekvation vars lösning berättar hur många bullar Maria åt om de tillsammans åt upp allihopa.

Vi låter xx vara så många bullar som Maria åt. Henrik åt tre gånger fler, dvs. 3x.3x. Tillsammans åt de därför x+3xx+3x bullar. Vi vet också att de åt upp alla bullar så x+3xx+3x ska vara lika med 8: x+3x=8. x+3x=8.

Visa mer

Ekvationslösning

En lösning till en ekvation är det eller de värden på variabeln som gör att likhetens vänster- och högerled blir lika stora. Exempelvis är x=5x={\color{#0000FF}{5}} lösning till ekvationen 3x=10+x3x=10+x eftersom 35=10+515=15. 3 \cdot {\color{#0000FF}{5}}=10+{\color{#0000FF}{5}} \quad \Leftrightarrow \quad 15=15. Det finns olika metoder för att lösa en ekvation:

  • Balansmetoden
  • Inspektionsmetoden

Balansmetoden

Balansmetoden är den vanligaste metoden inom ekvationslösning och innebär att man löser en ekvation algebraiskt, dvs. genom att räkna fram svaret. Målet är att få variabeln ensam i ena ledet (oftast VL).

x= ...x=\ ...

Det får man genom att "ta bort" allting annat, och till det används det motsatta räknesättet. I ekvationen

x5=10 x-5 = 10 ska -5\text{-} 5 "tas bort", och det motsatta räknesättet till subtraktion är addition. Man ska därför addera 5 i VL, och eftersom en ekvation är en likhet måste man göra samma sak i HL för att inte bryta likheten. På samma sätt är multiplikation och division motsatta räknesätt. Så länge man gör samma sak på båda sidor kan man i princip göra vad som helst.

Balansmetoden rules.svg
Vissa operationer, som t.ex. kvadrering, måste man dock vara försiktig med eftersom dessa kan ge upphov till falska eller borttappade rötter.

Exempel

Ekvation med variabeln i båda led

Lös ekvationen 8x+4=4x8.8x+4=4x-8.

För att lösa ekvationen isolerar vi xx i ett av leden.

8x+4=4x88x+4=4x-8
4x+4=-84x+4=\text{-}8
4x=-124x=\text{-}12
x=-3x=\text{-}3

Lösningen till ekvationen är alltså x=-3x=\text{-}3.

Visa mer

Exempel

Lös ekvationen

Lös ekvationen x3+715=35.\dfrac{x}{3} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{3}{5}. Svara med ett bråk.

Det enklaste är att börja med att skriva alla bråk på en gemensam nämnare. Här är den minsta gemensamma nämnaren (MGN) 15, eftersom nämnarna 3 och 5 kan förlängas till 15.

x3+715=35\dfrac{x}{3} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{3}{5}
x535+715=3353\dfrac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3}
5x15+715=915\dfrac{5x}{15} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{9}{15}

Alla termer i ekvationen är dividerade med 15. Genom att använda det motsatta räknesättet och multiplicera båda led med 15 får vi en ekvation utan nämnare.

5x15+715=915\dfrac{5x}{15} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{9}{15}
5x+7=95x + 7 = 9
5x=25x = 2
x=25x = \dfrac{2}{5}

Ekvationens lösning är alltså x=25.x = \frac{2}{5}.

Visa mer

Exempel

Ekvation med variabeln i nämnaren

Lös ekvationen 16x1=8. \frac{16}{x-1}=8.

Om man har en ekvation där variabeln är i nämnaren, kan man skriva om ekvationen genom att multiplicera båda led med nämnaren. Då blir man av med bråket, och ekvationen kan lösas som vanligt.

16x1=8\dfrac{16}{x-1}=8
16=8(x1)16=8(x-1)
Multiplicera in 8 8
16=8x816=8x-8
24=8x24=8x
8x=248x=24
x=3x=3

x=3x=3 löser ekvationen. När man löser ekvationer med variabeln i nämnaren kan man få falska rötter. Därför är det viktigt att antingen pröva roten genom att sätta in den i ursprungsekvationen, eller kontrollera vilka rötter som inte är tillåtna. Eftersom man inte får dividera med noll får xx, i det här fallet, inte vara 11. Men vår rot var 3, så vi kan vara lugna.

Visa mer

Inspektionsmetoden

Om det är svårt att lösa ut xx med balansmetoden, kan man i vissa fall tolka ekvationen och "se" vad lösningen blir. I ekvationen 3x5=93^{x-5}=9 kan man skriva om 99 som 32.3^2.

Inspektionsmetoden68357.svg
För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika. Då får man den enklare ekvationen x5=2x-5=2, som har roten x=7x=7 och som också löser ursprungsekvationen.

Prövning av rot

När man har löst t.ex. en ekvation kan man pröva sin rot, alltså sin lösning, för att kontrollera att man gjort rätt. Detta gör man genom att sätta in roten i den ursprungliga ekvationen och beräknar värdet av uttrycket i vänster- och högerledet var för sig. Om leden blir lika stora har man löst ekvationen korrekt och man brukar skriva

VL=HL. \text{VL}=\text{HL}. Om leden inte är lika stora har man antingen löst ekvationen fel eller har man fått så kallade falska rötter. Då skriver man VLHL.\text{VL} \neq \text{HL}. Om insättningen görs i ekvationen direkt, bör man sätta ett litet frågetecken ovanför likhetstecknet eftersom man inte vet om likheten gäller eller inte.

x=3x=3

x=4x=4

x=5x=5

x=6x=6

Exempel

Pröva en ekvations lösning

Uri har löst ekvationen 4(x+5)=324(x+5)=32 och fått roten x=3.x=3. Pröva lösningen och avgör om han har löst ekvationen korrekt.

För att kontrollera lösningen sätter man in x=3x=3 i ursprungsekvationen och förenklar. Om likheten då stämmer är roten korrekt!

4(x+5)=324(x+5)=32
x=3x={\color{#0000FF}{3}}
32=3232=32

Likheten är uppfylld så x=3x=3 är därmed en giltig rot. Uri har alltså löst ekvationen rätt!

Visa mer

Uppgifter