Regler för derivator

Deriveringsregler för potensfunktioner

Teori

Derivera funktioner

Begreppet derivata kan syfta på lutningen i en viss punkt, men det kan också vara en funktion som beskriver hur derivatan beror på olika xx-värden. När man deriverar en funktion f(x)f(x) får man derivatan f(x) f'(x) som också är en funktion. Genom att sätta in ett xx-värde i f(x)f'(x) kan man beräkna derivatans värde för detta x.x. Exempelvis innebär f(2)f'(2) att man beräknar derivatans värde för f(x)f(x) när x=2.x=2. Förutom skrivsättet f(x)f'(x) kan derivatan till en funktion ff även skrivas som D(f(x))D(f(x)) som utläses "derivatan av f(x)f(x)": f(x)D(f(x)). f'(x) \quad \Leftrightarrow \quad D(f(x)).

Detta är användbart om man vill se vilken funktion som deriveras. T.ex. kan derivatan av f(x)=4x2f(x)=4x^2 skrivas D(4x2).D\left(4x^2\right). För att derivera en funktion kan man använda derivatans definition eller deriveringsregler. Deriveringsreglerna talar om hur olika typer av funktioner deriveras utan att man behöver använda definitionen för derivata.

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion f(x)=xn,f(x)=x^n, där nn är en konstant, multiplicerar man xnx^n med nn och minskar exponenten med 1.1.

Derivera/Förenkla

f(x)=x4f(x) = x^4

f(x)=x2f(x) = x^2

f(x)=x-5f(x) = x^{\text{-}5}

Deriveringsregeln gäller för alla reella nn.

Regel

D(xn)=nxn1D\left(x^n\right) = n x^{n-1}

Regel

D(x)=1D(x)=1

Exempel

Derivera potensfunktionerna

Beräkna derivatans värde med deriveringsregler

Ofta vill man bestämma värdet för en funktions derivata i en specifik punkt. Exempelvis kan man bestämma f(5)f'(5) för f(x)=x4.f(x)=x^4. Det innebär att man ska bestämma derivatan när x=5.x=5.

Man börjar med att derivera funktionen med lämplig deriveringsregel. I det här fallet har man en potensfunktion så man använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner.

f(x)=x4f(x)=x^4
f(x)=D(x4)f'(x)=D\left(x^4\right)
f(x)=4x3f'(x)=4x^3

Sedan beräknas derivatans värde genom att man sätter in xx-värdet i f(x).f'(x).

f(x)=4x3f'(x)=4x^3
x=5x={\color{#0000FF}{5}}
f(5)=453f'({\color{#0000FF}{5}})=4 \cdot {\color{#0000FF}{5}}^3
f(5)=4125f'(5)=4 \cdot 125
f(5)=500f'(5)=500

Derivatans värde är alltså 500500 i när x=5.x=5.

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan x\sqrt{x} skrivas om som en potens med exponenten 0.50.5, x=x0.5, \sqrt{x}=x^{0.5}, och 1x2\frac{1}{x^2} kan skrivas som en potens med negativ exponent: 1x2=x-2. \dfrac{1}{x^2}=x^{\text{-} 2}. Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen f(x)=xnf(x)=x^n så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen f(x)=1x. f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.

Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket, x,\sqrt{x}, kan skrivas som x0.5,x^{0.5}, och funktionen kan därför skrivas f(x)=1x0.5. f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}.

Om funktionen är ett bråk på formen 1xn\frac{1}{x^n} skriver man om det som potensen x-nx^{\text{-} n}. I det här fallet får man f(x)=1x0.5=x-0.5. f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}=x^{\text{-} 0.5}.

Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.

f(x)=x-0.5f(x)=x^{\text{-}0.5}
f(x)=D(x-0.5)f'(x)=D\left(x^{\text{-}0.5}\right)
f(x)=-0.5x-1.5f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-}1.5}

När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.

I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som f(x).f(x). Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.

f(x)=-0.5x-1.5f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-} 1.5}
f(x)=-0.51x1.5f'(x)=\text{-}0.5 \cdot \dfrac{1}{x^{1.5}}
Skriv i bråkform
f(x)=-121x3/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3/2}}
Dela upp i faktorer
f(x)=-121x31/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3\cdot 1/2}}
f(x)=-121(x3)1/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\left(x^3\right)^{1/2}}
f(x)=-121x3f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}
f(x)=-12x3/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}

I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen f(x)=1xf(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} som f(x)=-12x3/2 f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}