Derivata

Derivatans definition

Teori

Derivatans definition

Derivatan i en viss punkt för en funktion kan grafiskt tolkas som tangentens lutning i den punkten. I praktiken kan det dock vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där. Men genom att utgå ifrån principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där.

Från sekant till tangent

Om man drar en sekant genom en kurva kan man låta den övergå i en tangent genom att krympa avståndet mellan punkterna som sekanten skär igenom. När avståndet blir 00 kommer sekanten alltså att sammanfalla med tangenten till kurvan i en av punkterna.

Då avståndet mellan punkterna går mot ett mycket litet tal brukar man ibland kalla det för hh istället för Δx.\Delta x. Om man ställer upp en ändringskvot som motsvarar sekantens lutning kan den därför skrivas k=ΔyΔx=y2y1h. k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{h}. Ju mindre hh blir, desto bättre blir approximation av derivatan i tangeringspunkten. som man kan låta ha xx-värdet a,a, kommer ändringskvoten ovan att ge: f(a)y2y1h. f'(a) \approx \dfrac{y_2 - y_1}{h}. Den streckade tangenten till kurvan i punkten a=0.4a=0.4 har lutningen k=0.56,k=0.56, vilket innebär att f(0.4)=0.56.f'(0.4)=0.56. Genom att låta avståndet hh bli mindre och mindre ser man att sekantens riktningskoefficient närmar sig detta värde.

Med denna metod får man ett närmevärde till derivatan som blir bättre ju närmare punkterna är varandra. För att få det exakta värdet skulle man vilja låta avståndet vara 0,0, men då får man nolldivision. Derivatans värde bestäms därför med gränsvärdet för ändringskvoten då h0h \to 0: f(a)=limh0 y2y1h. f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \ \dfrac{y_2- y_1}{h}.

Algebraisk definition av derivata

Principen ovan används nu för att algebraiskt definiera derivatan för en funktion f(x)f(x) i punkten där x=a.x=a. Punkten som ligger på avståndet hh från denna blir då x=a+h.x=a+h.

f(a)f(a) är funktionsvärdet för f(x)f(x) i punkten där x=ax=a och på motsvarande sätt är f(a+h)f(a+h) funktionsvärdet där x=a+h.x=a+h. Avståndet i yy-led mellan punkterna, y2y1,y_2-y_1, kan därför uttryckas f(a+h)f(a).f(a+h) - f(a). Ändringskvoten mellan x=ax=a och x=a+hx=a+h kan alltså skrivas ΔyΔx=f(a+h)f(a)a+ha=f(a+h)f(a)h. \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h - a} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. När hh går mot 00 blir uttrycket för derivatan i den godtyckliga punkten x=ax=a det gränsvärde som är derivatans definition.

f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

Definitionen säger att derivatan för en funktion f(x)f(x) där x=ax=a bestäms algebraiskt genom att man låter avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom krympa så att sekanten övergår i en tangent. Definitionen gör det alltså möjligt att bl.a. bestämma derivatans värde i en punkt utan att tangenter behöver ritas ut.

Beräkna derivatans värde med derivatans definition

För att bestämma derivatan för t.ex. funktionen f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5 i punkten där x=3x=3 kan man använda derivatans definition f(a)=limh0f(a+h)f(a)h, f'(a) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}, där aa är xx-värdet i punkten man vill beräkna derivatan för. För x=3x=3 får man alltså gränsvärdet f(3)=limh0f(3+h)f(3)h, f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}, som man bestämmer genom att beräkna varje term i täljaren för sig, förenkla ändringskvoten och till sist låta hh gå mot 0.0.

Först beräknar man täljarens andra term, f(3),f(3), genom att sätta in xx-värdet i funktionen.

f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5
x=3x={\color{#0000FF}{3}}
f(3)=32+23+5f({\color{#0000FF}{3}})={\color{#0000FF}{3}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}+5
f(3)=9+6+5f(3)=9+6+5
f(3)=20f(3)=20

För att bestämma den första termen i täljaren, f(3+h),f(3+h), ersätter man xx med a+ha+h och förenklar. I det här fallet är det 3+h.3+h.

f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5
x=3+hx={\color{#0000FF}{3+h}}
f(3+h)=(3+h)2+2(3+h)+5f({\color{#0000FF}{3+h}})=({\color{#0000FF}{3+h}})^2+2({\color{#0000FF}{3+h}})+5
Utveckla med första kvadreringsregeln
f(3+h)=32+23h+h2+2(3+h)+5f(3+h)=3^2+2\cdot3\cdot h+h^2+2(3+h)+5
f(3+h)=9+6h+h2+2(3+h)+5f(3+h)=9+6h+h^2+2(3+h)+5
Multiplicera in 2 2
f(3+h)=9+6h+h2+6+2h+5f(3+h)=9+6h+h^2+6+2h+5
f(3+h)=h2+8h+20f(3+h)=h^2+8h+20

Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.

f(3+h)f(3)h\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}
f(3+h)=h2+8h+20f(3+h)={\color{#0000FF}{h^2+8h+20}}, f(3)=20f(3)={\color{#009600}{20}}
h2+8h+2020h\dfrac{{\color{#0000FF}{h^2+8h+20}}-{\color{#009600}{20}}}{h}
h2+8hh\dfrac{h^2+8h}{h}
h(h+8)h\dfrac{h(h+8)}{h}
h+8h+8

Ändringskvoten kan förenklas till h+8.h+8.

Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter hh gå mot 0.0.

f(3)=limh0f(3+h)f(3)hf'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}
Sätt in uttryck
f(3)=limh0(h+8)f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}(h+8)
h0h \to 0
f(3)=8f'(3)=8

Derivatan för funktionen f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5 när x=3x=3 är alltså lika med 8.8.

Digitala verktyg

Derivatans värde på räknare

Exempel

Bestäm derivatan med derivatans definition