Derivata

Derivatan av en funktion i en viss punkt är samma sak som lutningen för den tangent som kan dras genom punkten. Om tangentens lutning är positiv är även derivatan positiv, är lutningen negativ är derivatan negativ och där tangenten har lutningen 00 är derivatan 0.0.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion


Tredjegradsfunktion

Förstagradsfunktionen har samma derivata, 2,2, på hela grafen medan derivatans värde varierar för andragrads- och tredjegradsfunktionen. Punkter där derivatan är 00 kallas för stationära punkter och dit hör förutom maximi- och minimipunkter även terrasspunkter. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Notation

Derivata: f(x)f'(x)

Derivatans definition

Definitionen av derivatan i en punkt där x=a,x=a, det vill säga f(a),f'(a), är gränsvärdet av en ändringskvot: f(a)=limh0f(a+h)f(a)h. f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. Genom att sätta in funktionsvärdena f(a+h)f(a+h) och f(a)f(a) i täljaren och låta hh gå mot 00 bestämmer man derivatans värde i x=a.x=a.

Bestämning och tolkning av derivatans värde

För att bestämma derivatans värde i en godtycklig punkt kan man t.ex.

Ibland kan värdet tolkas som en momentan förändringshastighet, dvs. hur något förändras vid ett visst tillfälle. Ofta vill man bestämma eventuella extrempunkter till en funktion och eftersom derivatan i sådana är 00 kan man använda detta för att hitta extrempunkternas koordinater.