Definitions- och värdemängd

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Det kan finnas begränsningar på vilka tal man kan sätta in i funktioner respektive få ut ur dem. Man talar då om att funktioner har olika definitions- och värdemängder.
Begrepp

Definitionsmängd

Definitionsmängden, Df,D_f, är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion f.f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

  • Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. -1\sqrt{\text{-}1} eller 20.\frac{2}{0}.
  • Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för xx äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad -5\text{-}5 äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall. Det gäller exempelvis för funktionen f(x)=xf(x)=\sqrt{x} som har definitionsmängden x0x \geq 0 eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.
Uppgift

Ange definitionsmängden för funktionen f(x)=4xx1. f(x)=\frac{4x}{x-1}.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Värdemängd

Värdemängden, Vf,V_f, är alla yy-värden som kan skapas av en funktion f.f. Vissa funktioner, t.ex. y=2xy=2x, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen y=x2y = x^2 värdemängden y0y \geq 0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
Uppgift

Bestäm värdemängden för funktionen y=x27. y=x^2-7.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

En funktions definitions- och värdemängd kan bestämmas utifrån funktionens graf. I figuren visas grafen till funktionen f.f. Den ifyllda punkten indikerar att dess koordinater ingår i funktionens definitions- och värdemängd medan den inte ifyllda punkten anger att punktens koordinater inte ingår i definitions- och värdemängden.

För den här funktionen sträcker sig grafen i höjdled från och med -6\text{-}6 upp till 6.6. I sidled går kurvan från och med -2\text{-}2 till 4.4. Detta betyder att

Df-2x<4ochVf-6y<6. D_f\text{: } \text{-}2\leq x<4 \quad \text{och} \quad V_f\text{: } \text{-}6\leq y<6.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen till andragradsfunktionen f(x)f(x) är ritad i koordinatsystemet.


a

Vilka är funktionens nollställen?

b

Välj rätt tecken mellan f(x)f(x) och 3 i uttrycket f(x)3 f(x) \quad \quad 3 för att beskriva funktionens värdemängd. Välj mellan: ,=\leq, = eller .\geq.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren nedan finns graferna till tre funktioner utritade.


a

Para ihop graferna med följande definitionsmängder.

  1. -2<x3\quad \text{-} 2 < x \leq 3
  2. -6x2\quad \text{-} 6 \leq x \leq 2
  3. \quadAlla xx


b

Para ihop graferna med följande värdemängder.

  1. -3y4\quad \text{-} 3 \leq y \leq 4
  2. -3y6\quad \text{-} 3 \leq y \leq 6
  3. \quadAlla yy
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen f(x)f(x) grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange definitionsmängden för funktionen f(x)=76x. f(x)=\frac{7}{6-x}.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm definitionsmängden för funktionen f(x)=2x(x+3)(4x). f(x)=\dfrac{2x}{(x+3)(4-x)}.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm definitionsmängden för funktionen f(x)=x2.f(x)=x^2.

b

Bestäm värdemängden för f.f.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den linjära funktionen y=4x3y=4x-3 har definitionsmängden -2x7.\text{-}2 \leq x \leq 7. Vad är värdemängden?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är hela grafen till f(x)f(x) ritad. Ange funktionens värdemängd med olikhetstecken.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken definitionsmängd har funktionerna?


a

f(x)=4x1f(x) = 4x - 1

b

g(x)=1x+3g(x) = \dfrac{1}{x + 3}

c

h(x)=5xh(x) = 5\sqrt{x}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Om det är falskt, ange korrekt definitions-/värdemängd.


a

y=-4xy = \text{-}4x \quad har definitionsmängden DfD_f: alla x.x.

b

y=1xy = \dfrac{1}{x} \quad har definitionsmängden DfD_f: x>0.x \gt 0.

c

y=x2y = x^2 \quad har värdemängden VfV_f: y0.y \leq 0.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Pontus har ett deltidsarbete vid sidan av studierna. Hans lön beror på antalet timmar han arbetat och lönen är 80 kr per timme. Enligt arbetsplatsens regler får han dock arbeta som mest tjugo timmar per vecka.


a

Ställ upp en funktion p(t)p(t) som beskriver Pontus lön i kronor för en vecka om han arbetar tt timmar.

b

Ange definitionsmängden.

c

Ange värdemängden.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Figuren visar grafen till funktionen f.f.
NP ht13 8.svg
a

Vilket av alternativen A-F anger funktionens värdemängd? A.-5y2B.-5x2C.-4y8D.-4x8E.-5y3F.-5x3\begin{aligned} &\text{A.}\quad\text{-}5\leq y\leq2\\ &\text{B.}\quad\text{-}5\leq x\leq2\\ &\text{C.}\quad\text{-}4\leq y\leq8\\ &\text{D.}\quad\text{-}4\leq x\leq8\\ &\text{E.}\quad\text{-}5\leq y\leq3\\ &\text{F.}\quad\text{-}5\leq x\leq3 \end{aligned}

b

Bestäm f(a)f(a)f(a+1)=-2.f(a+1)=\text{-}2.

Nationella provet HT13 2a
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange funktionernas värdemängd. Kontrollera dina svar med en grafritande räknare.

a

f(x)=3x2f(x) = 3x^2

b

g(x)=-x2+1g(x) = \text{-} x^2+1

c

h(x)=2+xh(x) = 2 + \sqrt{x}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När du tecknar ett medlemskap på ett gym betalar du 200 kr för medlemskortet. Därefter betalar du 150 kr varje gång du tränar.


a

Beskriv den totala kostnaden med en funktion f(x),f(x), där xx är antalet gånger du tränar.

b

Ange definitionsmängden till f(x).f(x).

c

Tillhör 1500 värdemängden?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen ff är definierad som f(x)=x+-x.f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{\text{-} x}. Vad är funktionens definitionsmängd?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}