Bestäm symmetrilinje för en andragradsfunktion

Det finns olika sätt att bestämma en andragradsfunktions symmetrilinje beroende på vilken information man har tillgänglig. Metoderna bygger på att två punkter på kurvan med samma yy-värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.

Två punkter med samma yy-värde

Symmetrilinjen delar grafen till en andragradsfunktion i två spegelvända delar. För två punkter med samma yy-värde, t.ex. (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6),(4.41,6), går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.

Här är två punkter givna: (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6).(4.41,6).

Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf eller lösa ut dem ur funktionsuttrycket. Punkterna kan vara nollställena, men det är inget krav.

För att hitta xx-koordinaten för symmetrilinjen bestämmer man mittpunkten mellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas xx-värden.

Medelvärde=Summa av värdenAntal värden\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}
xs=-0.91+4.412x_s=\dfrac{\text{-}0.91+4.41}{2}
xs=3.52x_s=\dfrac{3.5}{2}
xs=1.75x_s=1.75

Symmetrilinjen är alltså i det här fallet xs=1.75.x_s=1.75. I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en given figur, om man har en sådan.

pqpq-formeln

Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. y=-x2+8x+2y=\text{-} x^2+8x+2, kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pqpq-formeln.

Genom att hitta de xx där funktionen är lika med 0 kan man hitta symmetrilinjen:-x2+8x+2=0. \text{-} x^2+8x+2=0.

Nu kan skriva ekvationen på pqpq-form och ställa upp pqpq-formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.

-x2+8x+2=0\text{-} x^2+8x+2=0
x28x2=0x^2-8x-2=0
x=--82±(-82)2(-2)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}2}}\right)}

När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet: xs=--82=4. x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 8}{2}=4.

Symmetrilinjen har alltså ekvationen xs=4.x_s=4.