{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Funktioner

Beskriva funktioner

Teori

Några vanliga sätt att representera, eller beskriva, funktioner är: ord, funktionsuttryck (formel), värdetabell och graf. Vilket sätt man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att representera en funktion. Det är en omvandlingsregel som med en formel talar om hur funktionsvärdet beror av olika xx-värden. Exempelvis är y=x+3y=x+3 ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas "addera 3."

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa några utvalda xx- och yy-värden för en funktion. Från en värdetabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende.

Digitala verktyg

Värdetabell på räknare
Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck, vilket kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra detsamma för hand. Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.
TI-Meny med funktioner

Därefter trycker man på TABLE (2nd + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika xx-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y2_2 kommer yy-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

Om man vill ändra de xx-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2nd + WINDOW). Där kan man ange vilket xx-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (Δ\DeltaTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje xx-värde.

TI-Meny med TBLSET

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Visa mer

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen.

Den grafiska framställningen visar inte själva omvandlingsregeln, vilket är en begränsning. Däremot ger den en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av xx- och yy-värden samtidigt.

Exempel

Skissa grafen

Skissa grafen till funktionen y=x21 y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria xx-värden och beräknar det motsvarande funktionsvärdet. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva xx-värden. xx- och yy-värdena representerar punker som funktionen går genom.

xx x21x^2-1 yy Punkt
-2 {\color{#0000FF}{\text{-}2}} (-2)21({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2-1 3 (-2,3)(\text{-}2,3)
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} (-1)21({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2-1 0 (-1,0)(\text{-}1,0)
0{\color{#0000FF}{0}} 021{\color{#0000FF}{0}}^2-1 -1\text{-}1 (0,-1)(0,\text{-}1)
1 {\color{#0000FF}{1}} 121{\color{#0000FF}{1}}^2-1 0 (1,0)(1,0)
2 {\color{#0000FF}{2}} 221{\color{#0000FF}{2}}^2-1 3 (2,3)(2,3)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Därefter sammanbinder vi punkterna. De ligger inte på en rät linje så vi drar en kurva genom dem.

Visa mer

Grafisk lösning

Om en ekvation är svår att lösa algebraiskt, t.ex. 1.5x=3, 1.5^x=3, kan man prova att göra en grafisk lösning. Detta innebär att man ritar ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner och läser av xx-värdet eller xx-värdena där de skär varandra.

Skriv ekvationens vänster- respektive högerled som två separata funktioner: y=1.5xochy=3. y=1.5^x \quad \text{och} \quad y=3.

Rita funktionernas grafer för hand eller på grafräknare.

Lösningen till ekvationen 1.5x=31.5^x=3 får man genom att läsa av xx-värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär i x2.7,x \approx 2.7, vilket alltså är lösningen till ekvationen 1.5x=3.1.5^x=3. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Digitala verktyg

Grafisk lösning på räknare
Att lösa en ekvation grafiskt innebär att man skriver in ekvationens vänster- och högerled som två funktioner och hittar skärningspunktens xx-värde. Det är ofta praktiskt att använda räknaren för detta.

Skriv in funktionerna på räknaren

Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. För att skriva xx använder man X,T,θ,n.\theta, n.

Fönster som visar plot1 plot2 plot3 på en TI82-räknare

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på knappen GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.

Graffönster från TI-82

För att ändra de xx- och yy-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.


Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två utritade graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 2nd + TRACE och sedan 5:intersect.

Graffönster från TI-82

När man har valt 5:intersect visas de uppritade graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

  • First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Finns det fler än två grafer går det att välja mellan dem med pilarna upp och ner.
  • Second curve: Välj den andra grafen.
  • Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda pilarna höger och vänster och tryck sedan på ENTER.
Nu skrivs skärningspunktens xx- och yy-värde ut och xx löser ekvationen.
Visa mer

Exempel

Lös ekvationen grafiskt

Lös följande ekvation grafiskt. x3=62+x x^3=62 + \sqrt{x}

Ekvationen är svår att lösa algebraiskt. För att kunna lösa ekvationen grafiskt behöver vi digitala verktyg, exempelvis en grafritande räknare. Vi låter ekvationens led utgöra varsin funktion: y=x3ochy=62+x. y = x^3 \quad \text{och} \quad y = 62+ \sqrt{x}. Vårt mål är nu att rita upp dessa funktioner på räknaren och sedan läsa av skärningspunkten med räknarens verktyg för detta. xx-värdet där graferna skär varandra är ekvationens lösning. Börja med att trycka på Y= och skriv in funktionsuttrycken.

räknarfönster med funktioner

Tryck sedan på knappen GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de xx- och yy-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan du trycka på WINDOW, där finns inställningar för hur koordinatsystemet visas.

Nu vill vi hitta skärningspunkten mellan graferna, och gör det genom att först trycka på 2nd + TRACE och sedan "5:intersect".

Nu visas graferna igen och vi väljer vilken som ska utgöra "first curve" och "second curve" (spelar ingen roll hur vi väljer). Till sist gissar vi var skärningspunkten finns med ENTER.

Nu skrivs skärningspunktens xx- och yy-värde ut och xx löser ekvationen. Lösningen till vår ekvation är alltså x=4.x=4.

Visa mer

Exempel

Lös olikheten grafiskt

Lös olikheten grafiskt: x2<2x+15. x^2 \lt 2x+15.

Lösningen till en olikhet är ett intervall. Vi letar alltså efter alla tal xx som gör att x2x^2 är mindre än 2x+15.2x+15. Vi delar upp vänster- och högerledet till varsin funktion, dvs. y1=x2 och y2=2x+15. y_1 = x^2 \quad \text{ och } \quad y_2 = 2x + 15. Vi ritar funktionerna, antingen med digitalt hjälpmedel eller via en värdetabell. Vi hittar skärningspunkterna och läser av när grafen till y1=x2y_1=x^2 är under y2=2x+15 y_2=2x+15 .

Den blå kurvan är mindre än den röda linjen i intervallet -3<x<5, \text{-} 3 \lt x \lt 5, eftersom alla yy-värden för x2x^2 är mindre än yy-värdena för den räta linjen. Om olikheten hade varit x22x+15x^2\leq 2x+15 skulle intervallet inkludera -3\text{-} 3 och 5 dvs. -3x5.\text{-} 3\leq x \leq 5.

Visa mer

Uppgifter