{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Analytisk geometri

Avstånds- och mittpunktsformeln

Teori

Koordinatgeometri

I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.

Avståndsformeln

För två punkter (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2)(x_2, y_2) i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.

Bevis

d=(x2x1)2+(y2y1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta dd) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δx\Delta x och Δy.\Delta y.

Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som d2=(Δx)2+(Δy)2, d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2, där Δx\Delta x och Δy\Delta y är differensen mellan punkternas koordinater. Δx\Delta x är alltså x2x1x_2 - x_1 och Δy\Delta y är y2y1y_2 - y_1. Detta sätts in i uttrycket och dd löses ut för att få avståndsformeln.

d2=(Δx)2+(Δy)2d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2
Δx=x2x1\Delta x={\color{#0000FF}{x_2 - x_1}}, Δy=y2y1\Delta y={\color{#009600}{y_2 - y_1}}
d2=(x2x1)2+(y2y1)2d^2 = \left({\color{#0000FF}{x_2 - x_1}} \right)^2 + \left({\color{#009600}{y_2 - y_1}} \right)^2
d=±(x2x1)2+(y2y1)2d = \pm \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left(y_2 - y_1 \right)^2}
d>0 d \gt 0
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left(y_2 - y_1 \right)^2}

Eftersom dd är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.

Q.E.D.
Visa mer

Exempel

Bestäm avståndet mellan punkterna med avståndsformeln

Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet?

För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.

Punkterna ligger i koordinaterna (-6,-4)(\text{-} 6, \text{-} 4) och (8,8).(8,8). Vi sätter in dessa i avståndsformeln.

d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
Sätt in (8,8)\left({\color{#0000FF}{8,8}}\right) & (-6,-4)\left({\color{#009600}{\text{-} 6, \text{-} 4}}\right)
d=(8(-6))2+(8(-4))2d = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{8}}-\left({\color{#009600}{\text{-} 6}}\right)\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{8}}-\left({\color{#009600}{\text{-} 4}}\right)\right)^2}
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
d=142+122d = \sqrt{14^2+12^2}
d=196+144d = \sqrt{196+144}
d=340d = \sqrt{340}

Avståndet mellan punkterna är 340\sqrt{340} le.

Visa mer

Mittpunktsformeln

Mittpunkten (xm,ym)(x_m,y_m) mellan två punkter, (x1,y1)(x_1, y_1) och (x2,y2),(x_2, y_2), kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas xx- respektive yy-koordinater.

Regel

xm=x1+x22ochym=y1+y22x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{och} \quad y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}

För att bestämma mittpunkten mellan två punkter kan man börja med att se sträckan dd mellan punkterna som hypotenusan i en rätvinklig triangel. Mittpunkten kommer då att halvera denna. Eftersom hypotenusan halveras kommer även de två kateterna att delas på hälften.

Rätvinklig riangel med hypotenusan delad i två lika stora delar

I koordinatsystemet kan avstånden i xx-led mellan punkterna (-3,-2),(\text{-} 3, \text{-} 2), mittpunkten (xm,ym)(x_m,y_m) och (5,6)(5, 6) uttryckas som skillnaden mellan xx-koordinaterna.

Eftersom (xm,ym)(x_m,y_m) är mittpunkt på den tänkta hypotenusan blir de två avstånden i xx-led, xm(-3)x_m - (\text{-} 3) och 5xm,5 - x_m, lika stora. Man kan därför sätta dessa lika för att få en ekvation som man kan lösa ut xmx_m ur.

xm(-3)=5xmx_m - (\text{-} 3) = 5 - x_m
2xm(-3)=52x_m - (\text{-} 3) = 5
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
2xm+3=52x_m + 3 = 5
2xm=-3+52x_m = \text{-}3 + 5
xm=-3+52x_m = \dfrac{\text{-}3 + 5}{2}

Med mittpunktsformeln blir xx-koordinaten xm=x1+x22=-3+52, x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{\text{-} 3 + 5}{2}, dvs. samma som med resonemanget ovan. På motsvarande sätt kan man motivera att mittpunkten i yy-led är ym=y1+y22.y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}.

Visa mer

Exempel

Bestäm mittpunkten mellan punkterna

Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.

Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.

Punkterna ligger i koordinaterna (-6,4)(\text{-} 6,4) och (6,-8).(6, \text{-} 8). Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater xmx_m och ym.y_m.

xm=x1+x22x_m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}
x1=-6x_1={\color{#0000FF}{\text{-} 6}}, x2=6x_2={\color{#009600}{6}}
xm=-6+62x_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{\text{-} 6}}+{\color{#009600}{6}}}{2}
xm=02x_m=\dfrac{0}{2}
xm=0x_m=0

Mittpunktens xx-koordinat är 0.0.

ym=y1+y22y_m = \dfrac{y_1 + y_2}{2}
y1=4y_1={\color{#0000FF}{4}}, y2=-8y_2={\color{#009600}{\text{-} 8}}
ym=4+(-8)2y_m=\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}+({\color{#009600}{\text{-} 8}})}{2}
ym=482y_m=\dfrac{4-8}{2}
ym=-42y_m=\dfrac{\text{-} 4}{2}
ym=-2y_m=\text{-} 2

Mittpunktens yy-koordinat är -2\text{-} 2. Mittpunkten har alltså koordinaterna (0,-2).(0, \text{-} 2).

Visa mer

Uppgifter