Integraler

Area och integraler

Teori

Figurer som exempelvis trianglar, cirklar och rektanglar har areaformler, men för att bestämma arean av mer generella figurer, t.ex. den nedan, behövs andra metoder.

Då kan man använda integraler. Det är ett brett räkneverktyg som handlar om att beräkna summor och används till mycket mer än bara areaberäkningar. Idén bygger på att dela upp problemet i mindre bitar som är lättare att räkna på, och sedan lägga ihop dessa. I fallet med area delas figuren in i rektanglar.

Rektanglarnas sammanlagda area matchar inte figurens area perfekt, men ju smalare rektanglar som används desto mindre blir avvikelsen. Ett mer matematiskt sätt att säga samma sak är att figurens area är gränsvärdet av rektanglarnas summa, då deras bredd går mot 0.0.

Uppskattning av figurens area

För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på xx-axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion f(x)f(x), men de har alla samma bredd, kallad Δx.\Delta x.

Den första rektangeln står centrerad på ett xx-värde kallat x1,x_1, och genom att sätta in det i f(x)f(x) får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till Δx\Delta x kan första rektangelns area uttryckas f(x1)Δx.f(x_1) \, \Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area: Af(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx. A \approx f(x_1)\, \Delta x + f(x_2)\, \Delta x + \ldots + f(x_{n})\, \Delta x. Denna typ av approximation av arean under en kurva kallas Riemannsumma.

Figurens exakta area som integral

Ju fler rektanglar som används, desto smalare blir de, vilket gör areauppskattningen allt bättre. Rektanglarna kan aldrig täcka området perfekt, men deras area går mot figurens area då rektanglarnas bredd går mot 00. Figurens exakta area AA kan därför beskrivas som ett gränsvärde.

A=limΔx0(f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx)A =\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left(f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x +\ldots + f(x_n) \Delta x\right)

Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.

Tolkning av integralens notation

När bredden går mot 00, dvs. när rektanglarna blir "oändligt tunna", brukar man skriva dx x istället för Δx.\Delta x. Funktionen f(x)f(x) som integreras kallas integrand, medan talen aa och bb kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.

Exempel

Ställ upp en integral

Integral för graf under xx-axeln

När en graf ligger ovanför xx-axeln kan integralen tolkas som arean mellan grafen och xx-axeln. Men gäller samma sak när grafen går under xx-axeln?

Sen tidigare är det klart att värdet av en integral, här kallad I,I, definieras som gränsvärdet av en summa av rektangelareor, uttryckta som f(x)Δxf(x) \Delta x. En viktig skillnad jämfört med tidigare är dock att funktionsvärdena är negativa när grafen går under xx-axeln.

Detta innebär att varje term i summan kommer vara negativ och därmed även integralen. I=limΔx0(f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx) I=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left({\color{#FF0000}{f(x_1)}} \Delta x + {\color{#FF0000}{f(x_2)}} \Delta x +\ldots + {\color{#FF0000}{f(x_n)}} \Delta x\right)

En integral som beskriver ett område under xx-axeln kommer alltså få ett negativt värde. Områdets area däremot måste vara ett positivt tal. Så för att uttrycka integralen med hjälp av områdets area måste man byta tecken på arean.

Beräkna integral med area

Integraler kan tolkas som areor och man kan använda detta för att bestämma värdet av en integral, t.ex. 09f(x)dx. \int_0^9 f(x)\,\text dx. Grafen till f(x)f(x) visas i figuren.

Man börjar med att markera det eller de områden mellan grafen och xx-axeln som definieras av integralen. I detta fall ska integralen beräknas mellan xx-värdena 00 och 9,9, vilket motsvarar följande två områden.

Nu beräknar man arean av det eller de områden som markerats. Här är områdena rätvinkliga trianglar, så arean beräknas genom att man multiplicerar kateterna och dividerar med 2.2. Den gröna triangeln har sidorna 55 och 2.5,2.5, så arean över xx-axeln blir A1=52.52=6.25. A_1=\dfrac{5\cdot 2.5}{2}=6.25. Den röda triangeln har istället sidorna 44 och 2,2, så arean under xx-axeln blir A2=422=4. A_2=\dfrac{4\cdot2}{2}=4.

Värdet på integralen bestäms på olika sätt beroende på om den beskriver ett eller flera områden.

  • Om integralen beskriver ett område kommer arean på detta motsvara integralens värde. Kom ihåg att värdet är negativt om området ligger under xx-axeln.
  • Om integralen beskriver flera områden får man subtrahera de områden som ligger under xx-axeln från de som ligger ovanför. I detta fall subtraherar man alltså den röda arean från den gröna:

09f(x)dx=6.254=2.25. \displaystyle\int_{0}^{9}f(x) \, \text d x =6.25-4=2.25. Detta ger att integralens värde är 2.25.2.25.