Analytisk geometri

Andragradskurvans utseende och egenskaper

Teori

Kurva

Inom matematiken är en kurva en sammanhängande "linje" i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning. Ett vanligt exempel på kurvor är grafer till funktioner.

Kurva wordlist.svg

Andragradsfunktion

En andragradsfunktion är en polynomfunktion av grad 22, dvs. där den högsta exponenten för variabeln är 2.2.

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

a,ba, \, b och cc är reella konstanter och a0a \neq 0.

Andragradsfunktionens graf

Grafen till en andragradsfunktion, y=ax2+bx+c,y=ax^2+bx+c, kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.

Maximi- och minimipunkt till andragradskurvor

Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av om koefficienten framför x2,x^2, dvs. aa, är positiv eller negativ. Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.

Minnesregel för sur och glad kurva
Exempelvis har grafen till y=2x23x+1y={\color{#0000FF}{2}}x^2-3x+1 en minimipunkt och y=-4x2+1y={\color{#0000FF}{\text{-}4}}x^2+1 en maximipunkt.

Exempel

Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?

Symmetrilinje - andragradskurva

Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.

Två punkter på varsin halva med samma yy-koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket xx-värde, a,a, som linjen ligger på.

xs=ax_s=a

Bestäm symmetrilinje för en andragradsfunktion

Det finns olika sätt att bestämma en andragradsfunktions symmetrilinje beroende på vilken information man har tillgänglig. Metoderna bygger på att två punkter på kurvan med samma yy-värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.

Använd två punkter med samma yy-värde

Symmetrilinjen delar grafen till en andragradsfunktion i två spegelvända delar. För två punkter med samma yy-värde, t.ex. (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6),(4.41,6), går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.

Här är två punkter givna: (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6).(4.41,6).

Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf eller lösa ut dem ur funktionsuttrycket. Punkterna kan vara nollställena, men det är inget krav.

För att hitta xx-koordinaten för symmetrilinjen bestämmer man mittpunkten mellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas xx-värden.

Medelvärde=Summa av värdenAntal värden\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}
xs=-0.91+4.412x_s=\dfrac{\text{-}0.91+4.41}{2}
xs=3.52x_s=\dfrac{3.5}{2}
xs=1.75x_s=1.75

Symmetrilinjen är alltså i det här fallet xs=1.75.x_s=1.75. I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en given figur, om man har en sådan.

Använd pqpq-formeln

Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. y=-x2+8x+2y=\text{-} x^2+8x+2, kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pqpq-formeln.

Genom att hitta de xx där funktionen är lika med 0 kan man hitta symmetrilinjen:-x2+8x+2=0. \text{-} x^2+8x+2=0.

Nu kan skriva ekvationen på pqpq-form och ställa upp pqpq-formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.

-x2+8x+2=0\text{-} x^2+8x+2=0
x28x2=0x^2-8x-2=0
x=--82±(-82)2(-2)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}2}}\right)}

När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet: xs=--82=4. x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 8}{2}=4.

Symmetrilinjen har alltså ekvationen xs=4.x_s=4.

Exempel

Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje