Välj kapitel {{ courseTrack.signature }} Välj kurs

{{ article.chapterName }}

{{ article.displayTitle }}

Teori

Kurva

Inom matematiken är en kurva en sammanhängande "linje" i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.

Kurva wordlist.svg
Ett vanligt exempel på kurvor är grafer till funktioner.

Andragradsfunktioner och deras grafer

En andragradsfunktion är en funktion där det finns en x2x^2-term men inga termer av högre grad.

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

a,ba, \, b och cc är reella konstanter och a0a \neq 0.

Andragradskurvan

Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.

Maximi- och minimipunkt till andragradskurvor

Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför x2.x^2. Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.

Minnesregel för sur och glad kurva
Exempelvis har grafen till y=2x23x+1y={\color{#0000FF}{2}}x^2-3x+1 en minimipunkt och y=-4x2+1y={\color{#0000FF}{\text{-}4}}x^2+1 en maximipunkt.

Exempel

Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?

Symmetrilinje - andragradskurva

Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.

Två punkter på varsin halva med samma yy-koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket xx-värde, a,a, som linjen ligger på.

xs=ax_s=a

Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion

I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en figur, om man har en sådan. Man kan också räkna ut den om man har två punkter med samma yy-värde eller funktionsuttrycket. Båda metoder bygger på att två punkter med samma yy-värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.

Använd två punkter med samma yy-värde

För två punkter med samma yy-värde, t.ex. (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6),(4.41,6), går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.

Här är två punkter givna: (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6).(4.41,6).

Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf. Punkterna kan vara nollställen, men det är inget krav.

För att hitta symmetrilinjen bestämmer man xx-värdet mittemellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas xx-koordinater.

Medelvrdea¨=Summa av vrdena¨Antal vrdena¨\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}
xs=-0.91+4.412x_s=\dfrac{\text{-}0.91+4.41}{2}
xs=3.52x_s=\dfrac{3.5}{2}
xs=1.75x_s=1.75

Symmetrilinjen är alltså i det här fallet xs=1.75.x_s=1.75.

Använd pqpq-formeln

Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. y=-x2+8x+2y=\text{-} x^2+8x+2, kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pqpq-formeln.

Man hittar de xx-värden där funktionen är 00 genom att lösa ekvationen-x2+8x+2=0. \text{-} x^2+8x+2=0.

Nu kan man skriva ekvationen på pqpq-form och ställa upp pqpq-formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.

-x2+8x+2=0\text{-} x^2+8x+2=0
x28x2=0x^2-8x-2=0
x=--82±(-82)2(-2)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}2}}\right)}

När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet: xs=--82=4. x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 8}{2}=4.

Symmetrilinjen har alltså xs=4.x_s=4.

Exempel

Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje

Uppgifter