Algebra och icke-linjära ekvationer

Andragradsekvationer och antal lösningar

Teori

Lösningarna till en andragradsekvation på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 kan tolkas grafiskt som nollställena till andragradsfunktionen y=ax2+bx+c, y=ax^2+bx+c, dvs. där grafen skär xx-axeln. Två skärningspunkter innebär då att ekvationen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 har två lösningar och en skärningspunkt innebär att ekvationen bara har en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar grafen skärningspunkter med xx-axeln finns det inga reella lösningar till ekvationen.

Två lösningar

En lösning

Inga reella lösningar

Med hjälp av pqpq-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i pqpq-formeln. Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den 00 har ekvationen en lösning, då man får ±0,\pm \sqrt{0}, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Antal lösningar till andragradsekvation

Exempel

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som s.k. komplexa tal (betecknas ofta zz). För detta ändamål har man infört ett nytt tal: den imaginära enheten som betecknas i.i. Det definieras som det tal vars kvadrat är -1.\text{-}1.

i2=-1i^2=\text{-} 1

En följd av detta är att i=-1.i=\sqrt{\text{-}1}. Med detta kan man uttrycka roten ur alla negativa tal med hjälp av i.i. Har man löst en andragradsekvation och fått rötterna x=±-25,x = \pm \sqrt{\text{-}25}, kan man skriva -25\sqrt{\text{-}25} som ett imaginärt tal: -25=25i2=(5i)2=5i. \sqrt{\text{-}25}=\sqrt{25i^2}=\sqrt{(5i)^2}=5i. Ekvationens rötter är alltså x=±5i.x = \pm 5i. Denna typ av omskrivning kan formuleras som ett generellt samband som säger att kvadratroten ur ett negativt tal är roten ur talet multiplicerat med i.i.

-a=ai\sqrt{\text{-} a}=\sqrt{a} \cdot i

Villkor: a>0a \gt 0

Ett tal som är sammansatt av både en reell del och en imaginär del, t.ex. z=3+5iz = 3 + 5i kallas för ett komplext tal eftersom ordet komplex betyder sammansatt.

Exempel

Lös en andragradsekvation med imaginära rötter

Exempel

Räkna med komplexa tal