{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Algebra och icke-linjära ekvationer

Andragradsekvationer och antal lösningar

Teori

Lösningarna till en andragradsekvation på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 kan tolkas grafiskt som nollställena till andragradsfunktionen

y=ax2+bx+c, y=ax^2+bx+c, dvs. där grafen skär xx-axeln. Två skärningspunkter innebär då att ekvationen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 har två lösningar och en skärningspunkt innebär att ekvationen bara har en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar grafen skärningspunkter med xx-axeln finns det inga reella lösningar till ekvationen.

Två lösningar

En lösning

Inga reella lösningar

Algebraiskt kan antalet lösningar avgöras genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i pqpq-formeln. Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den 00 har ekvationen en lösning, då man får ±0\pm \sqrt{0}: x=-p2±0x=-p2. x=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{0} \quad \Leftrightarrow \quad x=\text{-}\dfrac{p}{2}. Om diskriminanten är negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal. Då saknas reella rötter.

Antal lösningar till andragradsekvation

Exempel

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna: x22x+9=0ochx24x+4=0. x^2-2x+9=0 \quad \text{och} \quad x^2-4x+4=0.

Vi tittar på en ekvation i taget.

x22x+9=0\underline{\mathbf{x^2-2x+9=0}}
Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i pqpq-formeln.

x22x+9=0x^2-2x+9=0
x=--22±(-22)29x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{9}}}

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

(-22)29\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-9
(-1)29(\text{-}1)^2-9
191-9
-8\text{-} 8

Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

x24x+4=0\underline{\mathbf{x^2-4x+4=0}}
Vi fortsätter likadant och ställer upp pqpq-formeln.

x24x+4=0x^2-4x+4=0
x=--42±(-42)24x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}

Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.

(-42)24\left(\dfrac{\text{-}4}{2}\right)^2-4
(-2)24(\text{-} 2)^2-4
444-4
00

Diskrimantens värde är 0,0, vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Visa mer

Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som s.k. komplexa tal (betecknas ofta zz). För detta ändamål har man infört ett nytt tal: den imaginära enheten som betecknas i.i. Det definieras som det tal vars kvadrat är -1.\text{-}1.

i2=-1i^2=\text{-} 1

En följd av detta är att i=-1.i=\sqrt{\text{-}1}. Med detta kan man uttrycka roten ur alla negativa tal med hjälp av i.i. Har man löst en andragradsekvation och fått rötterna x=±-25,x = \pm \sqrt{\text{-}25}, kan man skriva -25\sqrt{\text{-}25} som ett imaginärt tal: -25=25i2=(5i)2=5i. \sqrt{\text{-}25}=\sqrt{25i^2}=\sqrt{(5i)^2}=5i. Ekvationens rötter är alltså x=±5i.x = \pm 5i. Denna typ av omskrivning kan formuleras som ett generellt samband som säger att kvadratroten ur ett negativt tal är roten ur talet multiplicerat med i.i.

-a=ai\sqrt{\text{-} a}=\sqrt{a} \cdot i

Villkor: a>0a \gt 0

Ett tal som är sammansatt av både en reell del och en imaginär del, t.ex. z=3+5iz = 3 + 5i kallas för ett komplext tal eftersom ordet komplex betyder sammansatt.

Exempel

Lös en andragradsekvation med imaginära rötter

Lös ekvationen x2+16=0.x^2+16=0.

Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut x2x^2 och drar roten ur båda led.

x2+16=0x^2+16=0
x2=-16x^2=\text{-}16
x=±-16x=\pm\sqrt{\text{-}16}

Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.

x=±-16x=\pm\sqrt{\text{-}16}
x=±16ix=\pm\sqrt{16}\cdot i
x=±4ix=\pm4i

Ekvationens lösningar är alltså x=±4i.x=\pm4i.

Visa mer

Exempel

Räkna med komplexa tal

Utför följande beräkningar: -36(8i)2(2+4i)+(1i) \sqrt{\text{-} 36} \quad \quad (8i)^2 \quad \quad (2+4i)+(1-i)

Vi utför beräkningarna en i taget.

-36\underline{\mathbf{\sqrt{\text{-} 36}}}
Vi använder vanliga räknelagar samt definitionen av det imaginära talet ii för att förenkla.

-36\sqrt{\text{-} 36}
36i\sqrt{36} \cdot i
6i6i

(8i)2\underline{\mathbf{(8i)^2}}
I nästa tal utnyttjar vi att i2i^2 är lika med -1.\text{-} 1.

(8i)2(8i)^2
(ab)c=acbc \left(a b\right)^{c}=a^c b^c
64i264i^2
i2=-1i^2=\text{-} 1
64(-1)64 \cdot (\text{-} 1)
-64\text{-}64

Kvadraten av ett imaginärt tal blir alltså ett negativt reellt tal.

(2+4i)+(1i)\underline{\mathbf{(2+4i)+(1-i)}}
I sista talet adderar vi realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.

(2+4i)+(1i)(2+4i)+(1-i)
2+4i+1i2+4i+1-i
2+1+4ii2+1+4i-i
3+3i3+3i

Svaren är alltså, i ordning: 6i-643+3i. 6i \qquad \text{-}64 \qquad 3+3i.

Visa mer

Uppgifter