Andragradsekvationer och antal lösningar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Lösningarna till en andragradsekvation på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen y=ax2+bx+c. y=ax^2+bx+c. Om funktionen har två nollställen har ekvationen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Två nollställen

Ett nollställe

Inga nollställen

Med hjälp av pqpq-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i pqpq-formeln: (p2)2q. \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q. Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den 00 har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Antal lösningar till andragradsekvation
Uppgift

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna: x22x+9=0ochx24x+4=0. x^2-2x+9=0 \quad \text{och} \quad x^2-4x+4=0.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som s.k. komplexa tal (betecknas ofta zz). För detta ändamål har man infört ett nytt tal: den imaginära enheten som betecknas i.i. Det definieras som det tal vars kvadrat är -1.\text{-}1.

i2=-1i^2=\text{-} 1

En följd av detta är att i=-1.i=\sqrt{\text{-}1}. Med detta kan man uttrycka roten ur alla negativa tal med hjälp av i.i. Har man löst en andragradsekvation och fått rötterna x=±-25,x = \pm \sqrt{\text{-}25}, kan man skriva -25\sqrt{\text{-}25} som ett imaginärt tal: -25=25i2=(5i)2=5i. \sqrt{\text{-}25}=\sqrt{25i^2}=\sqrt{(5i)^2}=5i. Ekvationens rötter är alltså x=±5i.x = \pm 5i. Denna typ av omskrivning kan formuleras som ett generellt samband som säger att kvadratroten ur ett negativt tal är roten ur talet multiplicerat med i.i.

-a=ai\sqrt{\text{-} a}=\sqrt{a} \cdot i

Villkor: a>0a \gt 0

Ett tal som är sammansatt av både en reell del och en imaginär del, t.ex. z=3+5iz = 3 + 5i kallas för ett komplext tal eftersom ordet komplex betyder sammansatt.
Uppgift

Lös ekvationen x2+16=0x^2+16=0.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Utför följande beräkningar: -36(8i)2(2+4i)+(1i) \sqrt{\text{-} 36} \quad \quad (8i)^2 \quad \quad (2+4i)+(1-i)

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utför följande beräkningar.

a

-4\sqrt{\text{-} 4}

b

-9\sqrt{\text{-} 9}

c

-1\sqrt{\text{-} 1}

d

-100\sqrt{\text{-} 100}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

x2=-16x^2=\text{-}16

b

x2+9=0x^2+9=0

c

x2+90=-10x^2+90=\text{-}10

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

x2+30=5x^2 + 30 = 5

b

-1282x2=0\text{-} 128 - 2x^2 = 0

c

6x2+49=3x23836x^2 + 49 = 3x^2 - 383

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

2x2=-722x^2=\text{-}72

b

11+2x2=-43911+2x^2=\text{-}439

c

x22+7.5=-33\dfrac{x^2}{2}+7.5=\text{-}33

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Låt de komplexa talen z,z, ww och uu vara definierade som: z=5+4i,w=22i,u=-10+8i. z = 5 + 4i, \qquad w = 2 - 2i, \qquad u = \text{-} 10 + 8i. Förenkla följande uttryck.

<

z+w+uz + w + u

b

w+2uzw + 2u - z

c

u3z2wu - 3z - 2w

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många lösningar har andragradsekvationerna?

a

x220x+100=0x^2-20x+100=0

b

x2+2x8=0x^2+2x-8 = 0

c

x210x+33=0x^2-10x+33 = 0

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm antalet lösningar till andragradsekvationerna.

a

x258x1760=0x^2-58x-1760 = 0

b

x24x+4=0x^2-4x+4 = 0

c

x2x+20=0x^2-x+20 = 0

d

2x2+4x18=02x^2+4x-18=0

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många lösningar har andragradsekvationerna?

a

x24x+11=0x^2-4x+11 = 0

b

2x292x+67=02x^2-92x+67=0

a

x24+35x8=10\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3}{5}x-8 = 10

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken av följande ekvationer A-E har icke-reella lösningar?

  1. x2=16 \quad x^2=16
  2. x2+6=0 \quad x^2+6=0
  3. x2=0 \quad x^2=0
  4. x25=0 \quad x^2-\sqrt{5}=0
  5. x294=0 \quad x^2-\dfrac{9}{4}=0
Nationella provet HT12 2b/2c.
1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan finns tre ekvationer och fyra påståenden.

ID2515.svg

Para ihop var och en av ekvationerna med korrekt påstående.

Nationella provet VT13 2a
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till andragradsfunktionerna f(x),f(x), g(x)g(x) och h(x)h(x) är inritade i koordinatsystemet.

Para ihop rötterna med ekvationerna f(x)=0,f(x)=0, g(x)=0g(x)=0 och h(x)=0.h(x)=0. x1=-2x2=2x3=-52ix4=3x5=-5+2i\begin{aligned} &x_1=\text{-}2 \\ &x_2=2 \\ &x_3=\text{-}5-2i \\ &x_4=3 \\ &x_5=\text{-}5+2i \end{aligned}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara med ett komplext tal.

a

(x3)2=-81(x -3)^2 = \text{-} 81

b

2(x+4)2+450=02 \cdot (x + 4)^2 + 450 = 0

c

(5x)23=-147\dfrac{(5 - x)^2}{3} = \text{-} 147

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

x2=-204xx^2=\text{-}20-4x

b

2x212x=-682x^2-12x=\text{-}68

c

5x2x=2x2435+5x5x^2-x=2x^2-435+5x

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Claes säger att han direkt kan avgöra, utan att beräkna diskriminanten, hur många rötter följande ekvationer har. Hur kan Claes ha tänkt, och hur många reella rötter har ekvationerna?

a

(x5)(x+2)=0(x-5)(x+2)=0

b

(x3)(x3)=0(x-3)(x-3)=0

c

(x7)(x7)+5=0(x-7)(x-7)+5=0

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara med komplexa tal.

a

x2+6x+13=0x^2 + 6x + 13 = 0

b

x220x+200=0x^2 - 20x + 200 = 0

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

(x+10)(x+8)=10x(x+10)(x+8)=10x

b

22x515=(x+5)(x3)22x-515=(x+5)(x-3)

c

x22=5(0.5x12.725)\dfrac{x^2}{2}=5(0.5x-12.725)

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rachel ska bestämma sidan xx i triangeln.

Uppg1190 1.svg

Med Pythagoras sats ställer hon upp ekvationen x2+(x+2)2=100.x^2+(x+2)^2=100. Hur många lösningar har ekvationen?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I nedanstående koordinatsystem syns en graf till andragradsfunktionen f(x).f(x).

För tillfället finns inga lösningar till ekvationen f(x)=0.f(x)=0. Hur kan du förändra funktionsuttrycket så att ekvationen får

a

en lösning?

b

två lösningar?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka värden på ss ger två lösningar till ekvationen: x24+4xs=0? \dfrac{x^2}{4}+4x-s=0?

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge exempel på en andragradsekvation på formen x2+px+q=0x^2+px+q=0 som har


a

en reell lösning.

b

två reella lösningar.

c

inga reella lösningar.

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två av ekvationerna A – E har reella lösningar. Vilka två?

A. x2+3=1\quad x^2+3=1
B. x2+6x3=2\quad x^2+6x-3=2
C. x2=-9\quad x^2=\text{-} 9
D. x24x+9=2\quad x^2-4x+9=2
E. (x2)(x+2)=0\quad (x-2)(x+2)=0

Nationella provet VT15 2b/2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett tunt snöre är 2424 m långt. Snöret kan formas till olika geometriska figurer.

En triangel och två kvadrater


a

Hela snöret formas till en liksidig triangel, se Figur 1.1. Bestäm triangelns area.

b

Snöret delas sedan i två olika långa delar. Av varje del formas en kvadrat, se Figur 2.2. Undersök om det är möjligt att kvadraterna tillsammans får arean 17 m2.17\text{ m}^2.

Nationella provet VT12 2b/2c
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilket eller vilka värden på tt kommer x2+tx+t=0x^2+tx+t=0 ha endast en rot?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Lös ekvationen x26x+13=0.x^2-6x+13=0.

b

Beräkna produkten av rötterna.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att x=1+3ix=1+3i är en lösning till andragradsekvationen x22x+10=0 x^2-2x+10=0 utan att lösa ekvationen.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka värden kan konstanten mm ha för att graferna till funktionerna y=x2+3.7ochy=2x+m y=x^2+3.7 \quad \text{och} \quad y=2x+m inte ska skära varandra?

Nationella provet HT13 2a
3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För andragradsfunktionen ff gäller att f(x)=-0.5x2+bx2. f(x)=\text{-} 0.5x^2+bx-2.

a

Visa att grafen till ff går genom punkten (0,-2)(0,\text{-} 2) oavsett värde på b.b.

b

Bestäm för vilka värden på bb som ff endast har ett nollställe. För en annan andragradsfunktion gg gäller att g(x)=-0.5x2+bxc. g(x)=\text{-} 0.5x^2+bx-c.


c

Bestäm vilket samband som ska gälla mellan bb och cc för att gg endast ska ha ett nollställe.

Nationella provet VT15 2a
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Om man beräknar i\sqrt{i} får man ett komplext tal med positiv reell del. Bestäm det komplexa talet.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}