Välj kapitel {{ courseTrack.signature }} Välj kurs

{{ article.chapterName }}

{{ article.displayTitle }}

Teori

En andragradsekvation är en ekvation där det finns en x2x^2-term men inga termer av högre grad.

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Villkor: a0a \neq 0

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som x2=144x^2=144 och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden, pqpq-formeln eller kvadratkomplettering.
Fördjupning

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2500=05x^2-500=0
5x2=5005x^2=500
x2=100x^2=100

När x2x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: x2=100x=±100.\begin{aligned} x^2=100 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{100}. \end{aligned}

Kvadratroten ur 100100 är 10,10, så ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=10.x=10.
Fördjupning

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med 00 kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen (3x9)(x+5)=0 (3x-9)(x+5)=0 lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara 00 för att produkten ska bli 0.0.

Genom att sätta varje faktor lika med 00 får man två nya, separata ekvationer: 3x9=0ochx+5=0. 3x-9=0 \quad \text{och} \quad x+5=0.

Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de xx-värden som gör att någon av faktorerna blir 0,0, eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen. 3x9=0x=3x+5=0x=-5\begin{aligned} 3x-9=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=3\\ x+5=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=\text{-}5 \end{aligned}

Lösningarna är alltså x=3x=3 och x=-5.x=\text{-}5.

Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.
Uppgift Visa lösning Visa lösning

Uppgifter