{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Algebra och icke-linjära ekvationer

Andragradsekvationer

Teori

Andragradsekvation

En andragradsekvation är en polynomekvation av grad 2, alltså där det finns en x2x^2-term men inga termer av högre grad, t.ex. x3x^3 eller x4.x^4.

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Villkor: a0a \neq 0

En andragradsekvation har noll, en eller två lösningar.

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med en form av balansmetoden.

Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2500=05x^2-500=0
5x2=5005x^2=500
x2=100x^2=100
När x2x^2 står ensamt i ena ledet drar man kvadratroten ur båda led. Eventuellt behöver man använda räknare till detta. Man får en positiv och en negativ lösning.
x2=100x^2=100
x=±100x = \pm \sqrt{100}
x=±10x = \pm 10

Ekvationen har lösningarna x=10x=10 och x=-10.x= \text{-} 10.

Om x2x^2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=-7,x^2=\text{-}7, har ekvationen icke-reella rötter.

Nollproduktmetoden

En ekvation som står på faktoriserad form och är lika med 00 kan lösas med nollproduktmetoden. T.ex. kan (3x9)(x+5)=0 (3x-9)(x+5)=0 lösas på detta sätt. Metoden kan motiveras med att en faktor måste vara noll för att produkten ska bli noll.

För att en produkt ska vara lika med 00 måste minst en av faktorerna vara 0.0. Detta ger upphov till två nya, separata ekvationer. Det eller de xx som gör att någon av faktorerna blir 00 löser ursprungsekvationen. Det betyder här att man ska lösa ekvationerna 3x9=0ochx+5=0. 3x-9=0 \quad \text{och} \quad x+5=0.

Lösningarna till ursprungsekvationen går sedan att hitta genom att lösa delekvationerna.

(3x9)(x+5)=0(3x-9)(x+5)=0
3x9=0(I)x+5=0(II)\begin{array}{lc} 3x-9=0 & \text{(I)} \\ x+5=0 & \text{(II)} \end{array}
3x=9x+5=0\begin{array}{l} 3x=9 \\ x+5=0 \end{array}
x=3x+5=0\begin{array}{l} x=3 \\ x+5=0 \end{array}
x1=3x2=-5\begin{array}{l} x_1=3 \\ x_2=\text{-}5 \end{array}

Både x=3x=3 och x=-5x=\text{-}5 löser ekvationen.

Det är inte alltid ekvationen är skriven som en produkt, vilket innebär att det är nödvändigt att faktorisera den innan det går att använda nollproduktmetoden.

Exempel

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden
Visa mer

Uppgifter