Extremvärden

Andraderivata

Teori

Konvex och konkav

Om man vill undersöka en grafs utseende kan man studera dess lutning. Med hjälp av begreppen konvex och konkav kan man också undersöka hur lutningen förändras. Om en kurva buktar uppåt säger man att den är konkav, vilket innebär att grafens lutning minskar när man går mot större xx-värden. Buktar kurvan istället nedåt är den är konvex, och då ökar kurvans lutning.

konvex och konkav kurva som definieras med sekant

Definitionen av en konkav funktion är att om en rät linje dras mellan två godtyckliga punkter på grafen ligger alla punkter på linjen under eller på kurvan. För konvexa funktioner ligger istället alla linjer mellan två punkter ovanför eller på kurvan. Vissa funktioner är konvexa och konkava på olika intervall, exempelvis funktionen i figuren.

Inflexionspunkt

Den punkt där en kurva byter från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa kallas för inflexionspunkt. Exempelvis är den vita punkten i figuren en inflexionspunkt.

I en terrasspunkt byter kurvor konkavitet, och därför är terrasspunkter alltid inflexionspunkter.

Exempel

Var är funktionen konvex och var är den konkav?

Andraderivata

Andraderivatan av en funktion f(x)f(x) är derivatan av funktionens derivata. För att bestämma andraderivatan till f(x)f(x) deriverar man därför funktionen två gånger. Andraderivatan skrivs ofta f(x),f''(x), vilket utläses f bis av x.

För att bestämma andraderivatan deriverar man en funktion två gånger

På samma sätt som derivatan f(x)f'(x) beskriver hur lutningen på grafen till f(x)f(x) förändras, beskriver andraderivatan hur lutningen på grafen till f(x)f'(x) förändras. Där andraderivatan är negativ är grafen till f(x)f(x) konkav och där den är positiv är grafen till f(x)f(x) konvex.

f(x)<0f(x)f''(x) < 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) är konkav ()(\frown)

f(x)>0f(x)f''(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) är konvex ()(\smile)


Notation

Andraderivata: f(x)f''(x)

Andraderivata i stationära punkter

Det finns ett samband mellan andraderivatans tecken och stationära punkters karaktär.

Andraderivatan är negativ eller positiv

Om andraderivatan i en stationär punkt är negativ är funktionen konkav där och punkten är en maximipunkt. Är andraderivatan istället positiv är funktionen konvex och den stationära punkten en minimipunkt.

Stationära punkter med positiv respektive negativ andraderivata

Andraderivatan är 00

I inflexionspunkter, t.ex. terrasspunkter, är andraderivatan 0,0, men det kan den även vara i extrempunkter. Så om andraderivatan är 00 i en stationär punkt säger det ingenting om dess karaktär. Den måste därför avgöras på något annat sätt, t.ex. genom att ställa upp en teckentabell.

Bestämma extrempunkter med första- och andraderivata

Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen f(x)=0.25x42x3+4.5x2+3.f(x)=0.25x^4-2x^3+4.5x^2+3.

För att hitta extrempunkter börjar man med att derivera funktionen.

f(x)=0.25x42x3+4.5x2+3f(x)=0.25x^4-2x^3+4.5x^2+3
f(x)=D(0.25x4)D(2x3)+D(4.5x2)+D(3)f'(x)=D\left(0.25x^4\right)-D\left(2x^3\right)+D\left(4.5x^2\right)+D(3)
f(x)=x36x2+9x+D(3)f'(x)=x^3-6x^2+9x+D(3)
f(x)=x36x2+9xf'(x)=x^3-6x^2+9x

Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med 0.0. För att hitta dessa punkter sätter man alltså f(x)f'(x) lika med 00 och löser ekvationen.

x36x2+9x=0x^3-6x^2+9x=0
Dela upp i faktorer
xx2x6x+x9=0x\cdot x^2-x\cdot 6x+x\cdot 9=0
x(x26x+9)=0x\left(x^2-6x+9\right)=0
x=0x26x+9=0\begin{array}{l}x=0 \\ x^2-6x+9=0 \end{array}

Den andra ekvationen kan lösas med pqpq-formeln.

x26x+9=0x^2-6x+9=0
x=--62±(-62)29x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}6}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}6}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{9}}}
x=-(-3)±(-3)29x=\text{-}(\text{-}3)\pm\sqrt{(\text{-}3)^2-9}
x=3±(-3)29x=3\pm\sqrt{(\text{-}3)^2-9}
x=3±99x=3\pm\sqrt{9-9}
x=3±0x=3\pm\sqrt{0}
x=3x=3

Derivatan har två nollställen: x=0x=0 och x=3.x=3.

Nu bestämmer man andraderivatan f(x)f''(x) genom att derivera en gång till.

f(x)=x36x2+9xf'(x)=x^3-6x^2+9x
f(x)=D(x3)D(6x2)+D(9x)f''(x)=D\left(x^3\right)-D\left(6x^2\right)+D(9x)
f(x)=3x2D(6x2)+D(9x)f''(x)=3x^2-D\left(6x^2\right)+D(9x)
f(x)=3x212x+D(9x)f''(x)=3x^2-12x+D(9x)
f(x)=3x212x+9f''(x)=3x^2-12x+9

Därefter sätter man in xx-värdena för de stationära punkterna i f(x),f''(x), vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.

f(x)=3x212x+9f''(x)=3x^2-12x+9
x=0x={\color{#0000FF}{0}}
f(0)=302120+9f''({\color{#0000FF}{0}})=3\cdot{\color{#0000FF}{0}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{0}}+9
f(0)=30120+9f''(0)=3\cdot0-12\cdot0+9
f(0)=9f''(0)=9

När xx är 00 är andraderivatan 9,9, alltså positiv, vilket innebär att f(x)f(x) har en minimipunkt där.

f(x)=3x212x+9f''(x)=3x^2-12x+9
x=3x={\color{#0000FF}{3}}
f(3)=332123+9f''({\color{#0000FF}{3}})=3\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{3}}+9
f(3)=39123+9f''(3)=3\cdot9-12\cdot3+9
f(3)=2736+9f''(3)=27-36+9
f(3)=0f''(3)=0

När x=3x=3 är andraderivatan 0.0. Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.

Om någon stationär punkt har andraderivatan 00 kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. xx-värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett xx-värde på intervallet 0<x<30<x<3 och ett på intervallet x>3.x>3.

xx 00 33
f(x)f'(x) 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) Min \nearrow Ter. \nearrow

Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om x=3.x=3. Det finns alltså en terrasspunkt där.

Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där x=3.x=3.

Slutligen bestämmer man funktionsvärdena för extrempunkterna. Här finns det en extrempunkt där x=0,x=0, och detta xx-värde sätter man in i funktionsuttrycket.

f(x)=0.25x42x3+4.5x2+3f(x)=0.25x^4-2x^3+4.5x^2+3
x=0x={\color{#0000FF}{0}}
f(0)=0.2504203+4.502+3f({\color{#0000FF}{0}})=0.25\cdot{\color{#0000FF}{0}}^4-2\cdot{\color{#0000FF}{0}}^3+4.5\cdot{\color{#0000FF}{0}}^2+3
f(0)=0.25020+4.50+3f(0)=0.25\cdot0-2\cdot0+4.5\cdot0+3
f(0)=3f(0)=3

Funktionen har alltså ett minimum i (0,3).(0,3).