{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Linjära ekvationer och ekvationssystem

Algebraisk lösning av ekvationssystem

Teori

När man löser linjära ekvationssystem är det oftast enklare att lösa dem algebraiskt istället för grafiskt. De vanligaste metoderna för att göra detta är substitutionsmetoden och additionsmetoden.

Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden är en algebraisk metod för att hitta lösningen till ett ekvationssystem. Den går ut på att man ersätter, eller substituerar, en variabel i någon av ekvationerna med ett uttryck som bara innehåller den andra variabeln. Exempelvis kan ekvationssystemet {y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases} lösas med substitutionsmetoden på följande sätt.

Lös ut en av variablerna ur valfri ekvation så att den står ensam på ena sidan av likhetstecknet. Då ska uttrycket på andra sidan enbart innehålla den andra variabeln. Genom att addera 4 till båda led i den första ekvationen kan man lösa ut yy: {y=2x+49x+6=3y.\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3y. \end{cases}

Ersätt variabeln i den andra ekvationen med det uttryck som man fick i första steget. Uttrycket 2x+42x+4 sätts in istället för yy i den andra ekvationen: {y=2x+49x+6=3(2x+4).\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3({\color{#0000FF}{2x+4}}). \end{cases}

Nu innehåller den andra ekvationen endast en variabel och det går att lösa den med balansmetoden.

{y=2x+4(I)9x+6=3(2x+4)(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3(2x+4) & \text {(II)}\end{cases}
{y=2x+49x+6=32x+34\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3\cdot2x+3\cdot4 \end{cases}
{y=2x+49x+6=6x+12\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=6x+12 \end{cases}
{y=2x+43x+6=12\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x+6=12 \end{cases}
{y=2x+43x=6\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x=6 \end{cases}
{y=2x+4x=2\begin{cases}y=2x+4 \\ x=2 \end{cases}

Sätt in värdet på variabeln som löstes ut i förra steget i någon av ursprungsekvationerna. Oftast sätter man in det i uttrycket man löste ut i första steget. För att få den fullständiga lösningen till ekvationssystemet löser man sedan ut den sista variabeln ur ekvationen.

{y=2x+4(I)x=2(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ x=2 & \text {(II)}\end{cases}
{y=22+4x=2\begin{cases}y=2 \cdot {\color{#0000FF}{2}}+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=4+4x=2\begin{cases}y=4+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=8x=2\begin{cases}y=8 \\ x=2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}

Exempel

Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden

Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden. {2x+6y=-65x+2y=11\begin{cases}2x + 6y = \text{-} 6 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}

För att lösa ekvationssystemet börjar vi med att lösa ut en av variablerna ur en av ekvationerna. Vi väljer att lösa ut xx ur första ekvationen.

{2x+6y=-6(I)5x+2y=11(II)\begin{cases}2x + 6y = \text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ 5x + 2y = 11 & \text {(II)}\end{cases}
{2x=-6y65x+2y=11\begin{cases}2x = \text{-} 6y - 6 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y35x+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}

Vi sätter sedan in uttrycket för xx i ekvation (II) och löser ut yy.

{x=-3y35x+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ 5x + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y35(-3y3)+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ 5({\color{#0000FF}{\text{-} 3y - 3}}) + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y35(-3y)53+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ 5(\text{-} 3y) -5\cdot 3 + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y3-15y15+2y=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ \text{-} 15y - 15 + 2y = 11 \end{cases}
{x=-3y3-13y15=11\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ \text{-} 13y - 15 = 11 \end{cases}
{x=-3y3-13y=26\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ \text{-} 13y = 26 \end{cases}
{x=-3y3y=-2\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}

Nu när yy är känt kan det sättas in i ekvation (I) för att bestämma xx.

{x=-3y3y=-2\begin{cases}x = \text{-} 3y - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
{x=-3(-2)3y=-2\begin{cases}x = \text{-} 3 \cdot ({\color{#0000FF}{\text{-} 2}}) - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
{x=63y=-2\begin{cases}x = 6 - 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}
{x=3y=-2\begin{cases}x = 3 \\ y = \text{-} 2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är alltså {x=3y=-2.\begin{cases}x = 3 \\ y = \text{-} 2. \end{cases}

Visa mer

Additionsmetoden

Additionsmetoden är en algebraisk metod för att hitta lösningen till ett ekvationssystem. Denna metod går ut på att man gör sig av med en variabel genom att addera ekvationerna ledvis. Exempelvis kan ekvationssystemet

{y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases}

lösas med additionsmetoden på följande sätt.

För att lättare kunna jämföra de två ekvationerna kan det vara bra att arrangera om termerna så att de står i samma ordning. I exemplet flyttas variabeltermerna till vänsterleden och konstanttermerna till högerleden.

{y4=2x(I)9x+6=3y(II)\begin{cases}y-4=2x & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3y & \text {(II)}\end{cases}
{-4=2xy9x+6=3y\begin{cases}\text{-}4=2x-y \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x+6=3y\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x=3y6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x=3y-6 \end{cases}
{2xy=-49x3y=-6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

Nu vill man att koefficienten framför någon av variablerna ska vara likadan i båda ekvationerna, fast med omvänt tecken. Det gör man genom att multiplicera båda led i någon av ekvationerna med lämpliga konstanter. I exemplet multipliceras ekvation (I) med -3\text{-} 3 så att termen 3y3y finns i ekvation (I) och -3y\text{-} 3y i ekvation (II). {-6x+3y=129x3y=-6\begin{cases}\text{-} 6x + 3y=12 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

Ekvationerna adderas ledvis. Det innebär att vänsterledet för en ekvation adderas till vänsterledet för den andra och högerledet för den ena adderas till högerledet för den andra.

Två ekvationer som adderas ledvis

Lös ekvationen med balansmetoden för att bestämma den ena variabeln.

{9x3y=-6(I)3x=6(II)\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ 3 x=6 & \text {(II)}\end{cases}
{9x3y=-6x=2\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}

Sätt in värdet på den nu kända variabeln i någon av ursprungsekvationerna för att bestämma den andra variabeln och få den fullständiga lösningen till ekvationssystemet. I exemplet sätts alltså x=2x=2 exempelvis in i ekvation (I).

{9x3y=-6(I)x=2(II)\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ x=2 & \text {(II)}\end{cases}
{923y=-6x=2\begin{cases}9\cdot {\color{#0000FF}{2}} - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}
{183y=-6x=2\begin{cases}18 - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}
{-3y=-24x=2\begin{cases}\text{-} 3y=\text{-}24 \\ x=2 \end{cases}
{y=8x=2\begin{cases}y=8 \\ x=2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}

Exempel

Lös ekvationssystemet med additionsmetoden

Lös ekvationssystemet med additionsmetoden. {4x+y=63x2y=-1\begin{cases}4x + y = 6 \\ 3x - 2y = \text{-} 1 \end{cases}

För att lösa ekvationssystemet börjar vi med att multiplicera någon av ekvationerna med en konstant så att koefficienten framför någon av variablerna blir likadan som i den andra ekvationen, fast med motsatt tecken. Om första ekvationen multipliceras med 22 kommer koefficienten framför yy att bli 22 i första ekvationen och -2\text{-} 2 i den andra.

{4x+y=6(I)3x2y=-1(II)\begin{cases}4x + y = 6 & \, \text {(I)}\\ 3x - 2y = \text{-} 1 & \text {(II)}\end{cases}
{8x+2y=123x2y=-1\begin{cases}8x + 2y = 12 \\ 3x - 2y = \text{-} 1 \end{cases}

Nu kan vi addera höger- och vänsterledet från ekvation (I) till höger- och vänsterledet från ekvation (II), vilket gör att yy-termerna tar ut varandra och det går att lösa ut xx.

{8x+2y=123x2y=-1\begin{cases}8x + 2y = 12 \\ 3x - 2y = \text{-} 1 \end{cases}
{8x+2y=123x2y+8x+2y=-1+12\begin{cases}8x + 2y = 12 \\ 3x - 2y + {\color{#0000FF}{8x + 2y}} = \text{-} 1 + {\color{#0000FF}{12}} \end{cases}
{8x+2y=1211x=11\begin{cases}8x + 2y = 12 \\ 11x = 11 \end{cases}
{8x+2y=12x=1\begin{cases}8x + 2y = 12 \\ x = 1 \end{cases}

Vi sätter nu in x=1x=1 i ekvation (I) och löser ut yy.

{8x+2y=12x=1\begin{cases}8x + 2y = 12 \\ x = 1 \end{cases}
{81+2y=12x=1\begin{cases}8\cdot{\color{#0000FF}{1}} + 2y = 12 \\ x = 1 \end{cases}
{8+2y=12x=1\begin{cases}8 + 2y = 12 \\ x = 1 \end{cases}
{2y=4x=1\begin{cases}2y = 4 \\ x = 1 \end{cases}
{y=2x=1\begin{cases}y = 2 \\ x = 1 \end{cases}

Lösningen på ekvationssystemet är alltså {x=1y=2.\begin{cases}x = 1 \\ y = 2. \end{cases}

Visa mer

Ekvationssystem som modeller

Många problem kan lösas med ekvationssystem. Metoden för att lösa sådana problem är följande:

  1. Identifiera okända värden och ge dem variabelnamn.
  2. Ställ upp olika samband mellan variablerna.
  3. Bilda ett ekvationssystem av sambanden.
  4. Lös ekvationssystemet och tolka resultatet.
Det är viktigt att komma ihåg att man behöver lika många ekvationer som antalet okända variabler för att kunna lösa ekvationssystemet, och det är även viktigt att dessa beskriver olika samband.

Exempel

Ställ upp och lös ekvationssystemet

Det totala antalet enkronor och femkronor i en plånbok är 1010 och det sammanlagda värdet av dessa är 3434 kr. Hur många enkronor och femkronor finns det i plånboken?

Vi söker antalet enkronor och antalet femkronor, vilket alltså är våra okända variabler. Vi kan t.ex. definiera antalet enkronor som aa och antalet femkronor som b.b. Vi känner till två olika saker om mynten: hur många de är och deras totala värde. Med hjälp av dessa samband kan vi ställa upp två olika ekvationer.

  • En ekvation beskriver det totala antalet mynt: a+b=10.a+b=10.
  • En ekvation beskriver myntens sammanlagda värde: 1a+5b=34.1 \cdot a+5 \cdot b=34.

Med dessa ekvationer bildar vi ett ekvationssystem och löser det med additionsmetoden.

{a+b=10(I)a+5b=34(II)\begin{cases}a+b=10 & \, \text {(I)}\\ a+5b=34 & \text {(II)}\end{cases}
{-ab=-10a+5b=34\begin{cases}\text{-} a-b=\text{-} 10 \\ a+5b=34 \end{cases}
{-ab=-10a+5bab=3410\begin{cases}\text{-} a-b=\text{-} 10 \\ a+5b {\color{#0000FF}{\,- a-b}}=34 {\color{#0000FF}{\, - 10}} \end{cases}
{-ab=-104b=24\begin{cases}\text{-} a-b=\text{-} 10 \\ 4b=24 \end{cases}
{-ab=-10b=6\begin{cases}\text{-} a-b=\text{-} 10 \\ b=6 \end{cases}
{-a6=-10b=6\begin{cases}\text{-} a-{\color{#0000FF}{6}}=\text{-} 10 \\ b=6 \end{cases}
{a+6=10b=6\begin{cases}a+6=10 \\ b=6 \end{cases}
{a=4b=6\begin{cases}a=4 \\ b=6 \end{cases}

Lösningen är a=4a=4 och b=6b=6 vilket betyder att det finns 4 enkronor och 6 femkronor i plånboken.

Visa mer

Ekvationssystem med fler än två okända

Lösningsmetoderna för ekvationssystem är inte begränsade till två ekvationer och två okända värden, utan gäller även för ekvationssystem med fler ekvationer och okända. För att ett sådant ekvationssystem ska kunna lösas måste det finnas lika många ekvationer som okända värden. Ekvationssystemet nedan har tre ekvationer och tre okända värden: xx, yy och z.z. {x+y+z=6-x+2yz=0xy+3z=8\begin{cases}x+y+z=6 \\ \text{-} x + 2y - z = 0 \\ x - y + 3z = 8 \end{cases}

I dessa fall används oftast substitutionsmetoden. På samma sätt som för två ekvationer löser man först ut en variabel ur en av ekvationerna. Uttrycket man får då sätter man in i de andra, vilka skapar ett nytt ekvationssystem med bara två okända som kan lösas på valfritt sätt. Värdena på de variablerna används sedan för att beräkna den tredje.

Exempel

Lös ekvationssystemet med tre okända variabler

Lös ekvationssystemet. {2x+y3z=14xy5z=9x+2y+z=0\begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases}

Vi väljer att lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden och börjar med att lösa ut en variabel ur en av ekvationerna. Det spelar ingen roll vilken variabel eller vilken ekvation, så vi väljer att lösa ut xx ur den tredje ekvationen.

{2x+y3z=1(I)4xy5z=9(II)x+2y+z=0(III)\begin{cases}2x + y - 3z = 1 & \, \, \text {(I)}\\ 4x - y - 5z = 9 & \, \text {(II)}\\ x + 2y + z = 0 & \text {(III)}\end{cases}
{2x+y3z=14xy5z=9x+z=-2y\begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x + z = \text{-} 2y \end{cases}
{2x+y3z=14xy5z=9x=-2yz\begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}

Vi sätter in detta uttryck i båda de andra ekvationerna och förenklar.

{2x+y3z=14xy5z=9x=-2yz\begin{cases}2x + y - 3z = 1 \\ 4x - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{2(-2yz)+y3z=14(-2yz)y5z=9x=-2yz\begin{cases}2({\color{#0000FF}{\text{-} 2y - z}}) + y - 3z = 1 \\ 4({\color{#0000FF}{\text{-} 2y - z}}) - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{2(-2y)2z+y3z=14(-2y)4zy5z=9x=-2yz\begin{cases}2(\text{-} 2y) -2\cdot z + y - 3z = 1 \\ 4(\text{-} 2y) - 4 \cdot z - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{-4y2z+y3z=1-8y4zy5z=9x=-2yz\begin{cases}\text{-} 4y - 2z + y - 3z = 1 \\ \text{-} 8y - 4z - y - 5z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{-3y5z=1-9y9z=9x=-2yz\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ \text{-} 9y - 9z = 9 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}
{-3y5z=1-yz=1x=-2yz\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ \text{-} y - z = 1 \\ x = \text{-} 2y - z \end{cases}

Nu har xx försvunnit från ekvation (I) och (II), som tillsammans bildar ett ekvationssystem med bara två okända: {-3y5z=1-yz=1. \begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ \text{-} y - z = 1. \end{cases} Vi väljer att lösa detta med additionsmetoden, men det hade också gått bra med substitutionsmetoden. Genom att byta tecken i den nedre ekvationen och därefter multiplicera den med 33 kommer yy-termerna att ta ur varandra vid additionen.

{-3y5z=1(I)-yz=1(II)\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 & \, \text {(I)}\\ \text{-} y - z = 1 & \text {(II)}\end{cases}
{-3y5z=1y+z=-1\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ y+z=\text{-}1 \end{cases}
{-3y5z=13y+3z=-3\begin{cases}\text{-} 3y - 5z = 1 \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{-3y5z+3y+3z=133y+3z=-3\begin{cases}\text{-} 3y - 5z + {\color{#0000FF}{3y + 3z}} = 1 {\color{#0000FF}{- \, 3}} \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{-2z=-23y+3z=-3\begin{cases}\text{-}2 z = \text{-}2 \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y+3z=-3\begin{cases}z = 1 \\ 3y+3z=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y+31=-3\begin{cases}z = 1 \\ 3y+3 \cdot {\color{#0000FF}{1}}=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y+3=-3\begin{cases}z = 1 \\ 3y+3=\text{-}3 \end{cases}
{z=13y=-6\begin{cases}z = 1 \\ 3y=\text{-}6 \end{cases}
{z=1y=-2\begin{cases}z=1 \\ y=\text{-}2 \end{cases}

Nu har vi löst ut yy och zz. Vi sätter vi in dem i ekvation (III) för att till sist lösa ut xx.

{z=1(I)y=-2(II)x=-2yz(III)\begin{cases}z = 1 & \, \, \text {(I)}\\ y = \text{-} 2 & \, \text {(II)}\\ x = \text{-} 2y - z & \text {(III)}\end{cases}
{z=1y=-2x=-2(-2)1\begin{cases}z = 1 \\ y = \text{-} 2 \\ x = \text{-} 2({\color{#0000FF}{\text{-} 2}}) - {\color{#009600}{1}} \end{cases}
{z=1y=-2x=41\begin{cases}z = 1 \\ y = \text{-} 2 \\ x = 4 - 1 \end{cases}
{z=1y=-2x=3\begin{cases}z = 1 \\ y = \text{-} 2 \\ x = 3 \end{cases}

Nu har vi löst ut alla okända variabler och lösningen är alltså {x=3y=-2z=1.\begin{cases}x = 3 \\ y = \text{-} 2 \\ z = 1. \end{cases}

Visa mer

Uppgifter