{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Linjära ekvationer och ekvationssystem

Algebraisk lösning av ekvationssystem

Teori

När man löser linjära ekvationssystem är det oftast enklare att lösa dem algebraiskt istället för grafiskt. De vanligaste metoderna för att göra detta är substitutionsmetoden och additionsmetoden.

Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden är en algebraisk metod för att hitta lösningen till ett ekvationssystem. Den går ut på att man ersätter, eller substituerar, en variabel i någon av ekvationerna med ett uttryck som bara innehåller den andra variabeln. Exempelvis kan ekvationssystemet {y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases} lösas med substitutionsmetoden på följande sätt.

Lös ut en av variablerna ur valfri ekvation så att den står ensam på ena sidan av likhetstecknet. Då ska uttrycket på andra sidan enbart innehålla den andra variabeln. Genom att addera 4 till båda led i den första ekvationen kan man lösa ut yy: {y=2x+49x+6=3y.\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3y. \end{cases}

Ersätt variabeln i den andra ekvationen med det uttryck som man fick i första steget. Uttrycket 2x+42x+4 sätts in istället för yy i den andra ekvationen: {y=2x+49x+6=3(2x+4).\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3({\color{#0000FF}{2x+4}}). \end{cases}

Nu innehåller den andra ekvationen endast en variabel och det går att lösa den med balansmetoden.

{y=2x+4(I)9x+6=3(2x+4)(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3(2x+4) & \text {(II)}\end{cases}
{y=2x+49x+6=32x+34\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=3\cdot2x+3\cdot4 \end{cases}
{y=2x+49x+6=6x+12\begin{cases}y=2x+4 \\ 9x+6=6x+12 \end{cases}
{y=2x+43x+6=12\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x+6=12 \end{cases}
{y=2x+43x=6\begin{cases}y=2x+4 \\ 3x=6 \end{cases}
{y=2x+4x=2\begin{cases}y=2x+4 \\ x=2 \end{cases}

Sätt in värdet på variabeln som löstes ut i förra steget i någon av ursprungsekvationerna. Oftast sätter man in det i uttrycket man löste ut i första steget. För att få den fullständiga lösningen till ekvationssystemet löser man sedan ut den sista variabeln ur ekvationen.

{y=2x+4(I)x=2(II)\begin{cases}y=2x+4 & \, \text {(I)}\\ x=2 & \text {(II)}\end{cases}
{y=22+4x=2\begin{cases}y=2 \cdot {\color{#0000FF}{2}}+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=4+4x=2\begin{cases}y=4+4 \\ x=2 \end{cases}
{y=8x=2\begin{cases}y=8 \\ x=2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}

Exempel

Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden
Visa mer

Additionsmetoden

Additionsmetoden är en algebraisk metod för att hitta lösningen till ett ekvationssystem. Denna metod går ut på att man gör sig av med en variabel genom att addera ekvationerna ledvis. Exempelvis kan ekvationssystemet


{y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases}


lösas med additionsmetoden på följande sätt.

För att lättare kunna jämföra de två ekvationerna kan det vara bra att arrangera om termerna så att de står i samma ordning. I exemplet flyttas variabeltermerna till vänsterleden och konstanttermerna till högerleden.

{y4=2x(I)9x+6=3y(II)\begin{cases}y-4=2x & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3y & \text {(II)}\end{cases}
{-4=2xy9x+6=3y\begin{cases}\text{-}4=2x-y \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x+6=3y\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x=3y6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x=3y-6 \end{cases}
{2xy=-49x3y=-6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

Nu vill man att koefficienten framför någon av variablerna ska vara likadan i båda ekvationerna, fast med omvänt tecken. Det gör man genom att multiplicera båda led i någon av ekvationerna med lämpliga konstanter. I exemplet multipliceras ekvation (I) med -3\text{-} 3 så att termen 3y3y finns i ekvation (I) och -3y\text{-} 3y i ekvation (II). {-6x+3y=129x3y=-6\begin{cases}\text{-} 6x + 3y=12 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

Ekvationerna adderas ledvis. Det innebär att vänsterledet för en ekvation adderas till vänsterledet för den andra och högerledet för den ena adderas till högerledet för den andra.

Två ekvationer som adderas ledvis

Lös ekvationen med balansmetoden för att bestämma den ena variabeln.

{9x3y=-6(I)3x=6(II)\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ 3 x=6 & \text {(II)}\end{cases}
{9x3y=-6x=2\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}

Sätt in värdet på den nu kända variabeln i någon av ursprungsekvationerna för att bestämma den andra variabeln och få den fullständiga lösningen till ekvationssystemet. I exemplet sätts alltså x=2x=2 exempelvis in i ekvation (I).

{9x3y=-6(I)x=2(II)\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ x=2 & \text {(II)}\end{cases}
{923y=-6x=2\begin{cases}9\cdot {\color{#0000FF}{2}} - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}
{183y=-6x=2\begin{cases}18 - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}
{-3y=-24x=2\begin{cases}\text{-} 3y=\text{-}24 \\ x=2 \end{cases}
{y=8x=2\begin{cases}y=8 \\ x=2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}

Exempel

Lös ekvationssystemet med additionsmetoden
Visa mer

Ekvationssystem som modeller

Många problem kan lösas med ekvationssystem. Metoden för att lösa sådana problem är följande:

  1. Identifiera okända värden och ge dem variabelnamn.
  2. Ställ upp olika samband mellan variablerna.
  3. Bilda ett ekvationssystem av sambanden.
  4. Lös ekvationssystemet och tolka resultatet.
Det är viktigt att komma ihåg att man behöver lika många ekvationer som antalet okända variabler för att kunna lösa ekvationssystemet, och det är även viktigt att dessa beskriver olika samband.

Exempel

Ställ upp och lös ekvationssystemet
Visa mer

Ekvationssystem med fler än två okända

Lösningsmetoderna för ekvationssystem är inte begränsade till två ekvationer och två okända värden, utan gäller även för ekvationssystem med fler ekvationer och okända. För att ett sådant ekvationssystem ska kunna lösas måste det finnas lika många ekvationer som okända värden. Ekvationssystemet nedan har tre ekvationer och tre okända värden: xx, yy och z.z. {x+y+z=6-x+2yz=0xy+3z=8\begin{cases}x+y+z=6 \\ \text{-} x + 2y - z = 0 \\ x - y + 3z = 8 \end{cases}

I dessa fall används oftast substitutionsmetoden. På samma sätt som för två ekvationer löser man först ut en variabel ur en av ekvationerna. Uttrycket man får då sätter man in i de andra, vilka skapar ett nytt ekvationssystem med bara två okända som kan lösas på valfritt sätt. Värdena på de variablerna används sedan för att beräkna den tredje.

Exempel

Lös ekvationssystemet med tre okända variabler
Visa mer

Uppgifter