Additionsmetoden

Additionsmetoden är en algebraisk metod för att hitta lösningen till ett ekvationssystem. Denna metod går ut på att man gör sig av med en variabel genom att addera ekvationerna ledvis. Exempelvis kan ekvationssystemet


{y4=2x9x+6=3y\begin{cases}y-4=2x \\ 9x+6=3y \end{cases}


lösas med additionsmetoden på följande sätt.

För att lättare kunna jämföra de två ekvationerna kan det vara bra att arrangera om termerna så att de står i samma ordning. I exemplet flyttas variabeltermerna till vänsterleden och konstanttermerna till högerleden.

{y4=2x(I)9x+6=3y(II)\begin{cases}y-4=2x & \, \text {(I)}\\ 9x+6=3y & \text {(II)}\end{cases}
{-4=2xy9x+6=3y\begin{cases}\text{-}4=2x-y \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x+6=3y\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x+6=3y \end{cases}
{2xy=-49x=3y6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x=3y-6 \end{cases}
{2xy=-49x3y=-6\begin{cases}2x-y=\text{-}4 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

Nu vill man att koefficienten framför någon av variablerna ska vara likadan i båda ekvationerna, fast med omvänt tecken. Det gör man genom att multiplicera båda led i någon av ekvationerna med lämpliga konstanter. I exemplet multipliceras ekvation (I) med -3\text{-} 3 så att termen 3y3y finns i ekvation (I) och -3y\text{-} 3y i ekvation (II). {-6x+3y=129x3y=-6\begin{cases}\text{-} 6x + 3y=12 \\ 9x-3y=\text{-}6 \end{cases}

Ekvationerna adderas ledvis. Det innebär att vänsterledet för en ekvation adderas till vänsterledet för den andra och högerledet för den ena adderas till högerledet för den andra.

Två ekvationer som adderas ledvis

Lös ekvationen med balansmetoden för att bestämma den ena variabeln.

{9x3y=-6(I)3x=6(II)\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ 3 x=6 & \text {(II)}\end{cases}
{9x3y=-6x=2\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}

Sätt in värdet på den nu kända variabeln i någon av ursprungsekvationerna för att bestämma den andra variabeln och få den fullständiga lösningen till ekvationssystemet. I exemplet sätts alltså x=2x=2 exempelvis in i ekvation (I).

{9x3y=-6(I)x=2(II)\begin{cases}9x - 3y=\text{-} 6 & \, \text {(I)}\\ x=2 & \text {(II)}\end{cases}
{923y=-6x=2\begin{cases}9\cdot {\color{#0000FF}{2}} - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}
{183y=-6x=2\begin{cases}18 - 3y=\text{-} 6 \\ x=2 \end{cases}
{-3y=-24x=2\begin{cases}\text{-} 3y=\text{-}24 \\ x=2 \end{cases}
{y=8x=2\begin{cases}y=8 \\ x=2 \end{cases}

Lösningen till ekvationssystemet är {x=2y=8.\begin{cases}x=2 \\ y=8. \end{cases}