Polynom och funktioner

Absolutbelopp

Teori

Absolutbeloppet av ett tal aa är det positiva värdet av a,a, och skrivs a.|a|. Om aa är positivt påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt aa byts tecknet och talet blir positivt. För 33 och -3\text{-}3 gäller därför 3=-3=3. |3|=|\text{-}3|=3.

Den formella definitionen av absolutbeloppet av aa är uppdelad i två fall – det första då aa är positivt eller 00 och det andra då aa är negativt.

a={a,a0-a,a<0 |a| = \begin{cases}a, & a \geq 0 \\ \text{-} a, & a \lt 0\end{cases}

Minustecknet i det andra fallet kan tolkas som ett teckenbyte. Gör man det inser man att:

  • absolutbeloppet av ett positivt tal eller 00 är samma tal.
  • absolutbeloppet av ett negativt tal är samma tal men med omvänt tecken, dvs. positivt.

Exempel

Använd definitionen av absolutbelopp

Exempel

Beräkna absolutbeloppet

Alternativ definition av absolutbelopp

Ibland definieras absolutbeloppet av ett tal aa som "kvadratroten ur aa i kvadrat."

a=a2|a|=\sqrt{a^2}

Man kan förstå denna definition genom att sätta in det negativa talet -4\text{-}4: (-4)2=16=4. \sqrt{(\text{-}4)^2}=\sqrt{16}=4.

Minustecknet "försvinner" eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt. Sedan återfås det positiva talet när man drar kvadratroten ur. Motsvarande händer om aa är positivt, fast då finns det inte något minustecken som försvinner. Uttrycket a2\sqrt{a^2} ger alltså alltid samma resultat som att ta absolutbeloppet av a.a.

Absolutbelopp som avstånd

Man kan tolka absolutbeloppet av ett tal som avståndet mellan 00 och det talet på en tallinje. Till exempel är 3|3| avståndet mellan 00 och 3,3, och -3|\text{-}3| är avståndet mellan 00 och -3.\text{-}3.

Tallinje som visar absolutbeloppen av -3 och 3

Absolutbeloppet av en differens, som ab,|a-b|, anger avståndet mellan talen aa och b.b.

Tallinje som visar absolutbeloppet av a-b

Exempelvis är 57|5-7| avståndet mellan 55 och 7.7. Eftersom även 75|7-5| är avståndet mellan samma tal gäller det att

ab=ba. |a-b|=|b-a|.

Grafen till en absolutbeloppsfunktion

Eftersom ett absolutbelopp aldrig är negativt kommer grafer till funktioner på formen y=f(x)y=|f(x)| alltid ligga ovanför xx-axeln. Exempelvis består grafen till y=xy = |x| av två delar som båda ligger ovanför xx-axeln och som möts i origo.

x|x|

0.50.5x|0.5 - 0.5x|

0.5x25\left|0.5x^2 - 5 \right|

För att rita grafen till y=f(x)y=|f(x)| speglar man alltså de delar av grafen som ligger under xx-axeln och ritar dem ovanför axeln istället. Som en följd av detta kan absolutbeloppsfunktioner ibland få ett eller flera hörn på xx-axeln.

Digitala verktyg

Absolutbelopp på räknare