Ändras definitionsmängden för omskrivna rationella uttryck?

För vissa omskrivningar av rationella uttryck kan det verka som att definitionsmängden ändras så att fler eller färre xx-värden blir tillåtna. Detta är oftast inte något man behöver tänka på, men det finns vissa fall där lösningar man har hittat egentligen är ogiltiga på grund av att de inte ingår i definitionsmängden.

Definitionsmängd vid förkortning

Antag att man har följande rationella uttryck: R(x)=2xx(x+1). R(x) = \dfrac{2x}{x(x+1)}. Om inget annat är angivet är definitionsmängden för uttrycket alla xx som man kan sätta in. R(x)R(x) är då odefinierad för x=0x = 0 och x=-1x = \text{-} 1 eftersom dessa värden leder till nolldivision. Om man nu förenklar R(x)R(x) genom att förkorta bort xx får man R(x)=2xx(x+1)=2x+1. R(x) = \dfrac{2x}{x(x+1)} = \dfrac{2}{x + 1}. Det kan verka som att det förenklade uttrycket har en annan definitionsmängd än det ursprungliga uttrycket eftersom det nu bara är x=-1x = \text{-} 1 som ger nolldivision, men så är det inte. För att kunna göra förenklingen måste man ju dela med x,x, och då får xx inte vara lika med noll. Det innebär att x=0x = 0 är odefinierat även för det förenklade uttrycket. Om man däremot börjar med ett nytt uttryck, G(x)=2x+1, G(x) = \dfrac{2}{x + 1}, så är det bara odefinierat för x=-1x = \text{-} 1 eftersom det aldrig har förenklats och man har inte dividerat med x.x. Det innebär att det inte är helt korrekt att skriva att R(x)R(x) är lika med G(x)G(x) eftersom en likhet förutsätter att både funktionsuttrycket och definitionsmängden är likadan. Eftersom det är ganska jobbigt att skriva ut definitionsmängder hela tiden brukar man låta den vara underförstådd. Står det exempelvis R(x)=G(x) R(x) = G(x) är det underförstått att x=0x = 0 och x=-1x = \text{-} 1 är odefinierade både för R(x)R(x) och G(x).G(x). Definitionsmängden för uttrycken är alltså den som täcker alla odefinierade värden både i vänster- och högerledet.

Definitionsmängd vid division

När man skriver om divisioner av rationella tal sker det egentligen ingen förkortning, men det är fortfarande möjligt att "tappa bort" odefinierade värden på det sätt som beskrivs ovan. Uttrycket x+1x3undefinedx9x+7 \left.\dfrac{x+1}{x-3}\middle/\dfrac{x-9}{x+7}\right. är odefinierat för x=3,x = 3, x=-7x = \text{-} 7 och x=9,x = 9, alltså när nämnaren till det vänstra bråket blir 0,0, när nämnaren till det högra bråket blir 00 och när nämnaren för hela bråket blir 0.0. Detta uttryck kan med hjälp av regeln för division av bråk skrivas om som (x+1)(x+7)(x3)(x9). \dfrac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x-9)}. Skulle man bara titta på det här uttrycket så ser det ut som att det bara är odefinierat för x=3x = 3 och x=9x = 9 eftersom x+7x + 7 har flyttats upp i täljaren, men sätter man en likhet mellan det och det tidigare uttrycket är det även odefinierat för x=-7.x = \text{-} 7. Anledningen till detta är att när man använder regeln för division av bråk multiplicerar man egentligen uttrycket med 1=x+7x9undefinedx+7x9, 1 = \left.\dfrac{x + 7}{x - 9}\middle/\dfrac{x + 7}{x - 9}\right., och förenklar det sedan. Bråket man multiplicerar med är dock odefinierat för x=-7x = \text{-} 7 eftersom nämnaren blir 00 för det xx-värdet, så förenklingen går bara att göra om xx inte är lika med -7,\text{-} 7, vilket innebär att det måste vara odefinierat även för det förenklade uttrycket.