{{ stepNode.name }}
| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | TemplateBot (Diskussion | bidrag) | ||
Rad 11: | Rad 11: | ||
<deduct> | <deduct> | ||
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} | ||
− | \ | + | \SubstituteII{f(x+h)}{a^{x+h}}{f(x)}{a^x} |
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{\col{a^{x+h}} - \colII{a^x}}{h} | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{\col{a^{x+h}} - \colII{a^x}}{h} | ||
− | \ | + | \SumInExponent |
− | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\ | + | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\t a^h - a^x}{h} |
− | \ | + | \SplitIntoFactors |
− | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\ | + | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\t a^h- a^x\t 1}{h} |
− | \ | + | \FactorOut{a^x} |
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\left(a^h - 1\right)}{h} | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\left(a^h - 1\right)}{h} | ||
− | \ | + | \MovePartNumLeft |
− | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \left(a^x \ | + | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \left(a^x \t \dfrac{a^h - 1}{h} \right) |
</deduct> | </deduct> | ||
<translate><!--T:4--> | <translate><!--T:4--> | ||
− | Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]] $\lim \limits_{h \to 0} a^x\ | + | Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]] $\lim \limits_{h \to 0} a^x\t\frac{a^h - 1}{h}.$ [[Potens *Wordlist*|Potensen]] $a^x$ påverkas dock inte av att $h$ går mot $0,$ så den kan placeras utanför gränsvärdet:</translate> |
\[ | \[ | ||
− | f'(x)=a^x\ | + | f'(x)=a^x\t \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{a^h - 1}{h}. |
\] | \] | ||
<translate><!--T:5--> | <translate><!--T:5--> | ||
Derivatan till $a^x$ är alltså $a^x$ multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta $h \to 0,$ men [[Ändringskvot *Rules*|ändringskvoten]] kommer att bero på exponentialfunktionens bas $a.$ Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet $h,$ t.ex. $0.0001,$ i kvoten:</translate> | Derivatan till $a^x$ är alltså $a^x$ multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta $h \to 0,$ men [[Ändringskvot *Rules*|ändringskvoten]] kommer att bero på exponentialfunktionens bas $a.$ Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet $h,$ t.ex. $0.0001,$ i kvoten:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
− | f'(x) \approx a^x \ | + | f'(x) \approx a^x \t \dfrac{a^{0.0001} - 1}{0.0001}. |
\] | \] | ||
<translate><!--T:6--> | <translate><!--T:6--> | ||
− | Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev $1.$ I så fall skulle man få $D(a^x)=a^x \ | + | Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev $1.$ I så fall skulle man få $D(a^x)=a^x \t 1,$ dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till $f(x)=a^x$ och $f'(x)$ sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket $a$ detta sker. |
</translate> | </translate> | ||
Rad 94: | Rad 94: | ||
För $a =2.72$ ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på $a$ lika med $e=2.718281828\ldots$ dvs. om $f(x)=e^x$ är</translate> | För $a =2.72$ ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på $a$ lika med $e=2.718281828\ldots$ dvs. om $f(x)=e^x$ är</translate> | ||
\[ | \[ | ||
− | f'(x)=e^x\ | + | f'(x)=e^x\t \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{e^h - 1}{h}=e^x \t 1 = e^x. |
\] | \] | ||
<translate><!--T:9--> | <translate><!--T:9--> |
f(x+h)=ax+h, f(x)=ax
ab+c=ab⋅ac
Dela upp i faktorer
Bryt ut ax
ca⋅b=a⋅cb