Begrepp

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man exempelvis kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek beror inte vilket kort man får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.

Begrepp

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.

Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då

0

:

P (lila, om 1 : a lila) = 0 .

Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

fullscreen

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Visa Lösning

I en kortlek finns det

52

kort med

13

av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är

P (Spader) = \frac{1 3}{5 2} .

Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt

51

kort kvar varav

12

är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader

P (Spader, om 1 : a spader) = \frac{1 2}{5 1} .

Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

\frac{1 3}{5 2} \cdot \frac{1 2}{5 1}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{1 3 \cdot 1 2}{5 2 \cdot 5 1}

ReduceFrac

Förkorta med $13$

\frac{1 2}{4 \cdot 5 1}

ReduceFrac

Förkorta med $4$

\frac{3}{5 1}

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså $\frac{3}{5 1}$ .

Begrepp

Träddiagram

Träddiagram kan användas för att visualisera slumpförsök som består av flera steg, t.ex. om man singlar slant två gånger. Varje förgrening i trädet representerar ett kast och cirklarna anger de möjliga utfallen som kastet kan ge: krona (Kr) och klave (Kl). Ofta skriver man ut sannolikheter längs varje gren om de är kända.

Varje väg genom trädet representerar en av de fyra händelser som kan ske om ett mynt singlas två gånger. Man brukar representera händelserna genom att skriva kombinationen av utfall inom parentes, t.ex. (Kr, Kr) för händelsen att få krona i både första och andra slantsinglingen. Sannolikheten för någon av händelserna får man genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen.

Om man vill beräkna sannolikheten för att samma sida av myntet kommer upp båda gångerna, dvs. händelsen (Kr, Kr) eller (Kl, Kl), måste man addera sannolikheterna för varje gren.

Beräkna sannolikhet med träddiagram

fullscreen

Två lyckohjul är uppdelade i åtta delar vardera. I det ena hjulet finns siffrorna $1 - 8$ och i det andra finns bokstäverna A–H.

Vad är sannolikheten för att få en udda siffra och en konsonant när båda hjulen snurras?

Visa Lösning

Vi löser uppgiften med ett träddiagram. På första hjulet är

4

av de

8

siffrorna udda, så sannolikheten för att få en udda siffra är

P (U) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} .

På andra hjulet är

6

av de

8

bokstäverna konsonanter (B, C, D, F, G och H) så sannolikheten för att hjulet stannar på en sådan är

P (K) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} .

För att beräkna sannolikheten att få både udda siffra och konsonant multipliceras sannolikheterna längs denna väg i träddiagrammet:

P (U, K) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .

Begrepp

Utfallsmatris

Utfallsmatriser kan användas för att visualisera slumpförsök i två steg om alla utfall är lika sannolika. De kan vara att föredra om antalet utfall är så många att det blir oöverskådligt med ett träddiagram. Det är vanligt att man använder dem för att representera möjliga utfall vid två tärningskast. Man kan t.ex. bestämma sannolikheten för att få både en $2$ :a och en $5$ :a. Det spelar ingen roll vad man får först, så det finns $2$ gynnsamma utfall.

Sannolikheten för händelsen kan beräknas med sannolikhetsformeln, alltså genom att dividera antal gynnsamma utfall ( $2$ st.) med antal möjliga ( $36$ st.):

\frac{2}{3 6} \approx 0.06 = 6 % .

@@ Rad 9: / Rad 9: @@
 <bblock page="Träddiagram *Wordlist*"/>
-<bblock page="Skills:Beräkna_sannolikhet_för_oberoende_händelser"/>
+<bblock page="Skills:Beräkna_sannolikhet_med_träddiagram"/>
 <bblock page="Utfallsmatris *Wordlist*"/>

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Versionen från 23 augusti 2018 kl. 11.06

Begrepp

Oberoende händelser

Begrepp

Beroende händelser

Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

Begrepp

Träddiagram

Exempel

Beräkna sannolikhet med träddiagram

Begrepp

Utfallsmatris

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}