| TemplateBot (Diskussion | bidrag) |
| Rad 22: |
Rad 22: |
| | <deduct> | | <deduct> |
| | f'(x)=\N1.6x^3+6x^2 | | f'(x)=\N1.6x^3+6x^2 |
| − | \SubstII{f'(x)}{0} | + | \Substitute{f'(x)}{0} |
| | \col{0}=\N1.6x^3+6x^2 | | \col{0}=\N1.6x^3+6x^2 |
| − | \OEk | + | \RearrangeEqn |
| | \N1.6x^3+6x^2=0 | | \N1.6x^3+6x^2=0 |
| | </deduct> | | </deduct> |
| Rad 33: |
Rad 33: |
| | <deduct mathmode=0> | | <deduct mathmode=0> |
| | $\N1.6x^3+6x^2=0$ | | $\N1.6x^3+6x^2=0$ |
| − | \DIF | + | \SplitIntoFactors |
| − | $x^2(\N1.6x)+x^2\g 6=0$ | + | $x^2(\N1.6x)+x^2\t 6=0$ |
| − | \BU{x^2} | + | \FactorOut{x^2} |
| | $x^2\left(\N1.6x+6\right)=0$ | | $x^2\left(\N1.6x+6\right)=0$ |
| − | \NPM | + | \ZeroProdProp |
| | <ka>\StackEqII{x^2=0}{\N1.6x+6=0}</ka> | | <ka>\StackEqII{x^2=0}{\N1.6x+6=0}</ka> |
| − | \I \SqrtEkv | + | \I \SqrtEqn |
| | <ka>\StackEqIIb{x=\pm\sqrt{0}}{\N1.6x+6=0}</ka> | | <ka>\StackEqIIb{x=\pm\sqrt{0}}{\N1.6x+6=0}</ka> |
| − | \I \FRT | + | \I \SimpRadicalTerm |
| | <ka>\StackEqIIb{x=0}{\N1.6x+6=0}</ka> | | <ka>\StackEqIIb{x=0}{\N1.6x+6=0}</ka> |
| − | \II \SubEkv{6} | + | \II \SubEqn{6} |
| | <ka>\StackEqIIb{x=0}{\N1.6x=\N6}</ka> | | <ka>\StackEqIIb{x=0}{\N1.6x=\N6}</ka> |
| − | \II \DivEkv{(\N1.6)} | + | \II \DivEqn{(\N1.6)} |
| | <ka>\StackEqIIb{x=0}{x=\dfrac{\N6}{\N1.6}}</ka> | | <ka>\StackEqIIb{x=0}{x=\dfrac{\N6}{\N1.6}}</ka> |
| − | \II \Calc | + | \II \UseCalc |
| | <ka>\StackEqIIb{x_1=0}{x_2=3.75}</ka> | | <ka>\StackEqIIb{x_1=0}{x_2=3.75}</ka> |
| | </deduct> | | </deduct> |
| Rad 67: |
Rad 67: |
| | <deduct> | | <deduct> |
| | f''(x)=\N4.8x^2+12x | | f''(x)=\N4.8x^2+12x |
| − | \SubstII{x}{0} | + | \Substitute{x}{0} |
| − | f''(\col{0})=\N4.8\g \col{0}^2+12\g \col{0} | + | f''(\col{0})=\N4.8\t \col{0}^2+12\t \col{0} |
| − | \BP | + | \CalcPow |
| − | f''(x)=\N4.8\g 0+12\g 0 | + | f''(x)=\N4.8\t 0+12\t 0 |
| − | \MF | + | \Multiply |
| | f''(x)=0 | | f''(x)=0 |
| | </deduct> | | </deduct> |
| Rad 80: |
Rad 80: |
| | <deduct> | | <deduct> |
| | f''(x)=\N4.8x^2+12x | | f''(x)=\N4.8x^2+12x |
| − | \SubstII{x}{3.75} | + | \Substitute{x}{3.75} |
| − | f''(\col{3.75})=\N4.8\g \col{3.75}^2+12\g \col{3.75} | + | f''(\col{3.75})=\N4.8\t \col{3.75}^2+12\t \col{3.75} |
| − | \Calc | + | \UseCalc |
| | f''(3.75)=\N22.5 | | f''(3.75)=\N22.5 |
| | </deduct> | | </deduct> |
| Rad 93: |
Rad 93: |
| | Tecken</translate> | | Tecken</translate> |
| | |- | | |- |
| − | |$\col{\N1} $ || $\N1.6\g(\col{\N1})^3+6\g(\col{\N1})^2$|| $7.6$ || $+$ | + | |$\col{\N1} $ || $\N1.6\t(\col{\N1})^3+6\t(\col{\N1})^2$|| $7.6$ || $+$ |
| | |- | | |- |
| − | |$ \col{1} $ || $\N1.6 \g \col{1}^3+6 \g \col{1}^2$|| $4.4$ || $+$ | + | |$ \col{1} $ || $\N1.6 \t \col{1}^3+6 \t \col{1}^2$|| $4.4$ || $+$ |
| | |} | | |} |
| | | | |
| Rad 118: |
Rad 118: |
| | <deduct> | | <deduct> |
| | f(x)=\N0.4x^4+2x^3+3 | | f(x)=\N0.4x^4+2x^3+3 |
| − | \SubstII{x}{3.75} | + | \Substitute{x}{3.75} |
| − | f(\col{3.75})=\N0.4\g \col{3.75}^4+2\g \col{3.75}^3+3 | + | f(\col{3.75})=\N0.4\t \col{3.75}^4+2\t \col{3.75}^3+3 |
| − | \Calc | + | \UseCalc |
| | f(3.75)=29.3671875 | | f(3.75)=29.3671875 |
| − | \AvrDec{2} | + | \RoundDec{2} |
| | f(3.75)\approx 29.37 | | f(3.75)\approx 29.37 |
| | </deduct> | | </deduct> |
Bestäm extrempunkterna till funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3 med hjälp av dess första- och andraderivata.
Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga .
f(x)=-0.4x4+2x3+3
f′(x)=D(-0.4x4)+D(2x3)+D(3)
f′(x)=-1.6x3+6x2+D(3)
f′(x)=-1.6x3+6x2
Vi sätter nu lika med 0 och löser . På detta sätt hittar vi x-värdena till funktionens .
f′(x)=-1.6x3+6x2
0=-1.6x3+6x2
-1.6x3+6x2=0
Denna ekvation löser vi enklast med eftersom vi kan bryta ut x2.
-1.6x3+6x2=0
x2(-1.6x)+x2⋅6=0
x2(-1.6x+6)=0
x2=0-1.6x+6=0(I)(II)
x=0-1.6x+6=0
x=0-1.6x=-6
x=0x=-1.6-6
x1=0x2=3.75
Lösningarna till f′(x)=0 är alltså x=0 och x=3.75, och det är för dessa x-värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är ,- - eller . Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.
f′(x)=-1.6x3+6x2
f′′(x)=D(-1.6x3)+D(6x2)
f′′(x)=-4.8x2+12x
Vi sätter nu in x-värdena 0 och 3.75 för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.
f′′(x)=-4.8x2+12x
f′′(0)=-4.8⋅02+12⋅0
f′′(x)=-4.8⋅0+12⋅0
f′′(x)=0
När x=0 är alltså andraderivatan 0. Vi räknar sedan ut andraderivatan för x=3.75.
f′′(x)=-4.8x2+12x
f′′(3.75)=-4.8⋅3.752+12⋅3.75
f′′(3.75)=-22.5
Andraderivatan är alltså negativ när x=3.75, vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När x=0 är andraderivatan istället 0, och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en runt x=0. Vi väljer ett x-värde som är lägre än 0, t.ex. -1, och ett som ligger mellan x=0 och x=3.75, t.ex. 1 och undersöker derivatans tecken för dem.
| x |
f′(x) |
= |
Tecken
|
| -1 |
-1.6⋅(-1)3+6⋅(-1)2 |
7.6 |
+
|
| 1 |
-1.6⋅13+6⋅12 |
4.4 |
+
|
Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där x är 0, och kan sammanställa detta i en .
| x
|
|
0 |
|
| f′(x)
|
+ |
0 |
+
|
| f(x)
|
↗ |
Ter. |
↗
|
Funktionen har alltså en terrasspunkt där x är 0. Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i x=3.75. För att bestämma y-värdet sätter vi in x=3.75 i funktionen f(x)=-0.4x4+2x3+3.
f(x)=-0.4x4+2x3+3
f(3.75)=-0.4⋅3.754+2⋅3.753+3
f(3.75)=29.3671875
f(3.75)≈29.37
Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna (3.75,29.37).