TemplateBot (Diskussion | bidrag) | Karin.hedin@osteraker.se (Diskussion | bidrag) |
Rad 141: |
Rad 141: |
| var p8=b.node(5.4,20); | | var p8=b.node(5.4,20); |
| | | |
− | b.measureB(p7,p8,'20',{labelDistance:-0.25}); | + | b.measureB(p7,p8,'20',{labelDistance:-0.25,rotateText:false}); |
| b.measureB(p5,p6,'\\ t_1',{labelDistance:-1}); | | b.measureB(p5,p6,'\\ t_1',{labelDistance:-1}); |
| b.text(2.5,10,'A=20t_1',{fontsize:1.5}); | | b.text(2.5,10,'A=20t_1',{fontsize:1.5}); |
Om man bestämmer en kan man få tillbaka funktionen genom att . Ett konkret exempel på funktioner som hänger ihop på detta sätt är
sträcka s(t), hastighet v(t) och
acceleration a(t).
Man kan utgå från en hastighetsfunktion v(t) för att illustrera principen. Om man deriverar v(t) får man en funktion som beskriver hur , vilket är samma sak som acceleration a. Om v(t) istället kan det tolkas som på ett visst intervall, dvs. som summan av rektanglar med arean A=ho¨jd⋅bredd=v⋅t, och är därför detsamma som en sträcka s (eftersom s=v⋅t).
Sambanden mellan de olika begreppen sammanfattas i figuren nedan.
Sambanden mellan begreppen sträcka och hastighet,
s′(t)=v(t)⇔s(t)=∫v(t) dt,
kan tolkas som: "hastigheten är derivatan av sträckan" och "sträckan är integralen av hastigheten". Man kan motivera detta med ett exempel. Om en bil kör med konstant hastighet
20 m/s under
t1 sekunder kan man med
svt-formeln beräkna sträckan som bilen färdats under denna tid:
s=20⋅t1 meter.
Samma samband kan man få genom att beräkna arean under grafen till
v(t) från
0 till
t1 sekunder.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Arean under grafen,
20t1, motsvarar alltså sträckan som bilen kör. Och eftersom arean även kan tolkas som integralen av
v(t) från
0 till
t1 är sträckan
s lika med integralen:
s=∫0t1v(t)dt=∫0t120dt=20t1.
Generellt gäller att den primitiva funktionen till
v(t) är sträckafunktionen
s(t), alltså:
s(t)=∫v(t) dt. I exemplet är
v(t) en konstant funktion men sambandet gäller även då
v(t) varierar.
Sambanden mellan begreppen hastighet och acceleration,
v′(t)=a(t)⇔v(t)=∫a(t) dt,
kan tolkas som: "accelerationen är derivatan av hastigheten" och "hastigheten är integralen av accelerationen". Även detta kan motiveras med ett exempel. En bil som ökar sin hastighet med
5 m/s varje sekund har accelerationen
5 m/s
2. Hastigheten kan även beskrivas med funktionen
v(t)=5t. Derivatan blir då
v′(t)=5
dvs. samma som accelerationen. Grafiskt representeras alltså accelerationen av grafens , som är
5 i alla punkter.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Generellt gäller att derivatan av
v(t) är samma sak som accelerationen,
v′(t)=a(t), och att
v(t) är en primitiv funktionen till accelerationen:
v(t)=∫a(t) dt.