{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ toc.name }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ stepNode.name }}
{{ 'ml-toc-proceed' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }} expand_more
{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Kreditlista Bilder expand_more
Henrik (Diskussion | bidrag)
Karin.hedin@osteraker.se (Diskussion | bidrag)

(11 mellanliggande versioner av 3 användare visas inte)

Rad 2: Rad 2:
 
Antal lösningar till en andragradsekvation</translate></hbox>
 
Antal lösningar till en andragradsekvation</translate></hbox>
 
<translate><!--T:2-->
 
<translate><!--T:2-->
−
Lösningarna till en [[Andragradsekvation *Wordlist*|andragradsekvation]] på formen $ax^2+bx+c=0$ kan tolkas [[Grafisk lösning - ekvation *Method*|grafiskt]] som [[Nollställe *Wordlist*|nollställena]] till andragradsfunktionen</translate>  
+
Lösningarna till en [[Andragradsekvation *Wordlist*|andragradsekvation]] på formen $ax^2+bx+c=0$ kan tolkas [[Grafisk lösning - ekvation *Method*|grafiskt]] som [[Nollställe *Wordlist*|nollställen]] till andragradsfunktionen</translate>  
 
\[
 
\[
−
y=ax^2+bx+c,
+
y=ax^2+bx+c.
 
\]  
 
\]  
 
<translate><!--T:3-->
 
<translate><!--T:3-->
−
dvs. där grafen skär $x$-axeln. Två skärningspunkter innebär då att ekvationen $ax^2+bx+c=0$ har två lösningar och en skärningspunkt innebär att ekvationen bara har en lösning (även kallad [[Dubbelrot *Wordlist*|dubbelrot]]). Saknar grafen skärningspunkter med $x$-axeln finns det [[Icke-reell lösning *Wordlist*|inga reella lösningar]] till ekvationen.</translate>
+
Om funktionen har '''två''' nollställen har ekvationen $ax^2+bx+c=0$ '''två''' lösningar, och har funktionen '''ett''' nollställe har ekvationen '''en''' lösning (även kallad [[Dubbelrot *Wordlist*|dubbelrot]]). Saknar funktionen nollställen har ekvationen [[Icke-reell lösning *Wordlist*|inga reella lösningar]].</translate>
  
 
<jsxgpre id="Antal_losningar_till_en_andragradsekvation_anim_1">
 
<jsxgpre id="Antal_losningar_till_en_andragradsekvation_anim_1">
Rad 19: Rad 19:
 
var p4 = b.point(p2.X() - xdist,0);
 
var p4 = b.point(p2.X() - xdist,0);
 
//var p3 = b.point(p1.X(),0,{fixed:false});
 
//var p3 = b.point(p1.X(),0,{fixed:false});
−
var graph = b.board.create('functiongraph', [function(x){ return (p1.Y() - p2.Y())*JXG.Math.pow((x-p2.X())/(p1.X() - p2.X()), 2) + p2.Y();},-3, 22],{strokeWidth:2});
+
 
 +
function func(x){
 +
return (p1.Y() - p2.Y())*JXG.Math.pow((x-p2.X())/(p1.X() - p2.X()), 2) + p2.Y();
 +
}
 +
 
 +
var graph = b.board.create('functiongraph', [function(x){ return (p1.Y() - p2.Y())*JXG.Math.pow((x-p2.X())/(p1.X() - p2.X()), 2) + p2.Y();},function() {
 +
if(Math.abs(func(p2.X()-3)) > 12){
 +
return p2.X() - 3;
 +
}
 +
if(Math.abs(func(p2.X()-6)) > 12){
 +
return p2.X() - 6;
 +
}
 +
return -3;
 +
}, function() {
 +
if(Math.abs(func(p2.X()+3)) > 12){
 +
return p2.X() + 3;
 +
}
 +
if(Math.abs(func(p2.X()+6)) > 12){
 +
return p2.X() + 6;
 +
}
 +
return 22;
 +
}],{strokeWidth:2,doAdvancedPlot:false,numberPointsLow:100,numberPointsHigh:100});
 
//graph.updateCurve();
 
//graph.updateCurve();
  
−
var flyttaMig = b.textA(-1.5,0.75,'<translate><!--T:17-->
+
var flyttaMig = b.textA(-1.5,0.75,'Dra mig!',{anchor:p1});
−
Dra mig!</translate>',{anchor:p1});
+
var flyttaMig2 = b.textA(0,-1,'Dra mig!',{anchor:p2});
−
var flyttaMig2 = b.textA(0,-1,'<translate><!--T:18-->
 
−
Dra mig!</translate>',{anchor:p2});
 
  
−
var calc = b.textA(9,10,'<translate><!--T:19-->
+
var calc = b.textA(9,10,'Två nollställen',{flag:true, fontsize:1.1});
−
Två lösningar</translate>',{flag:true, fontsize:1.1});
 
  
 
$(b.getId(calc)).css({
 
$(b.getId(calc)).css({
Rad 35: Rad 53:
 
});
 
});
  
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:20-->
+
b.changeText(calc,'Två nollställen');
−
Två lösningar</translate>');
 
  
 
//Begränsningar för var punkterna får vara.
 
//Begränsningar för var punkterna får vara.
Rad 79: Rad 96:
 
 
 
if (Math.abs(p2.Y()) < 0.25) {
 
if (Math.abs(p2.Y()) < 0.25) {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:21-->
+
b.changeText(calc, 'Ett nollställe');
−
En lösning</translate>');
 
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
p2.moveTo([p2.X(), 0]);
 
p2.moveTo([p2.X(), 0]);
Rad 95: Rad 111:
 
p2.setAttribute({fillcolor:mlg.blue});
 
p2.setAttribute({fillcolor:mlg.blue});
 
if (p1.Y() > p2.Y()) {
 
if (p1.Y() > p2.Y()) {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:22-->
+
b.changeText(calc, 'Två nollställen');
−
Två lösningar</translate>');
 
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
Rad 103: Rad 118:
 
}
 
}
 
else {
 
else {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:23-->
+
b.changeText(calc, 'Inga nollställen');
−
Inga reella lösningar</translate>');
 
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
}
 
}
Rad 111: Rad 125:
 
p2.setAttribute({fillcolor:mlg.blue});
 
p2.setAttribute({fillcolor:mlg.blue});
 
if (p1.Y() < p2.Y()) {
 
if (p1.Y() < p2.Y()) {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:24-->
+
b.changeText(calc,'Två nollställen');
−
Två lösningar</translate>');
 
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
Rad 119: Rad 132:
 
}
 
}
 
else {
 
else {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:25-->
+
b.changeText(calc, 'Inga nollställen');
−
Inga reella lösningar</translate>');
 
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
}
 
}
Rad 126: Rad 138:
 
else {
 
else {
 
p2.setAttribute({fillcolor:mlg.blue});
 
p2.setAttribute({fillcolor:mlg.blue});
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:26-->
+
b.changeText(calc,'Inga nollställen');
−
Inga reella lösningar</translate>');
 
 
}
 
}
 
});
 
});
Rad 174: Rad 185:
 
 
 
if (Math.round(p2.Y()*5)/5 == 0) {
 
if (Math.round(p2.Y()*5)/5 == 0) {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:27-->
+
b.changeText(calc,'Ett nollställe');
−
En lösning</translate>');
 
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
}
 
}
 
else if (p2.Y() < 0) {
 
else if (p2.Y() < 0) {
 
if (p1.Y() > p2.Y()) {
 
if (p1.Y() > p2.Y()) {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:28-->
+
b.changeText(calc,'Två nollställen');
−
Två lösningar</translate>');
 
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
Rad 188: Rad 197:
 
}
 
}
 
else {
 
else {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:29-->
+
b.changeText(calc,'Inga nollställen');
−
Inga reella lösningar</translate>');
 
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
}
 
}
Rad 195: Rad 203:
 
else if (p2.Y() > 0) {
 
else if (p2.Y() > 0) {
 
if (p1.Y() < p2.Y()) {
 
if (p1.Y() < p2.Y()) {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:30-->
+
b.changeText(calc,'Två nollställen');
−
Två lösningar</translate>');
 
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
xdist = Math.sqrt(-p2.Y() * Math.pow(p1.X() - p2.X(), 2) / (p1.Y() - p2.Y()));
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
 
p3.moveTo([p2.X() + xdist, 0]);
Rad 203: Rad 210:
 
}
 
}
 
else {
 
else {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:31-->
+
b.changeText(calc,'Inga nollställen');
−
Inga reella lösningar</translate>');
 
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
}
 
}
 
}
 
}
 
else {
 
else {
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:32-->
+
b.changeText(calc,'Inga nollställen');
−
Inga reella lösningar</translate>');
 
 
}
 
}
 
});
 
});
Rad 248: Rad 253:
 
p4.moveTo([p2.X() - xdist, 0]);
 
p4.moveTo([p2.X() - xdist, 0]);
 
b.show([p3,p4]);
 
b.show([p3,p4]);
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:33-->
+
b.changeText(calc, 'Två nollställen');
−
Två lösningar</translate>');
 
 
});
 
});
  
Rad 267: Rad 271:
 
p2.moveTo([randX2,0]);
 
p2.moveTo([randX2,0]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:34-->
+
b.changeText(calc, 'Ett nollställe');
−
En lösning</translate>');
 
 
});
 
});
  
Rad 288: Rad 291:
 
p2.moveTo([randX2,randY2]);
 
p2.moveTo([randX2,randY2]);
 
b.hide([p3,p4]);
 
b.hide([p3,p4]);
−
b.changeText(calc, '<translate><!--T:35-->
+
b.changeText(calc, 'Inga nollställen');
−
Inga reella lösningar</translate>');
 
 
});
 
});
 
</jsxgpre>
 
</jsxgpre>
Rad 295: Rad 297:
 
<div class='jsx-btn-container'>
 
<div class='jsx-btn-container'>
 
<jsxbtn onclick='mlg.cf("antallosningar_1.tvaLosningar")'><translate><!--T:8-->
 
<jsxbtn onclick='mlg.cf("antallosningar_1.tvaLosningar")'><translate><!--T:8-->
−
Två lösningar</translate></jsxbtn>
+
Två nollställen</translate></jsxbtn>
 
<jsxbtn onclick='mlg.cf("antallosningar_1.enLosning")'><translate><!--T:9-->
 
<jsxbtn onclick='mlg.cf("antallosningar_1.enLosning")'><translate><!--T:9-->
−
En lösning</translate></jsxbtn>
+
Ett nollställe</translate></jsxbtn>
 
<jsxbtn onclick='mlg.cf("antallosningar_1.ingenLosning")'><translate><!--T:10-->
 
<jsxbtn onclick='mlg.cf("antallosningar_1.ingenLosning")'><translate><!--T:10-->
−
Inga reella lösningar</translate></jsxbtn>
+
Inga nollställen</translate></jsxbtn>
 
</div>
 
</div>
  
 
<translate><!--T:11-->
 
<translate><!--T:11-->
−
Med hjälp av $pq$-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på [[Diskriminant *Wordlist*|diskriminanten]], dvs. det som står under  rottecknet i $pq$-formeln. Är diskriminanten positiv har ekvationen '''två''' lösningar. Är den $0$ har ekvationen '''en''' lösning, då man får $\pm \sqrt{0},$ och är den negativ får man [[Kvadratroten ur ett negativt tal *Why*|kvadratroten ur ett negativt tal]] vilket innebär att det '''saknas''' reella lösningar.</translate>  
+
Med hjälp av [[Pq-formeln *Rules*|$pq$-formeln]] kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på [[Diskriminant *Wordlist*|diskriminanten]], dvs. det som står under  rottecknet i $pq$-formeln:
 +
\[
 +
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q.
 +
\]
 +
Är diskriminanten positiv har ekvationen '''två''' lösningar. Är den $0$ har ekvationen '''en''' lösning, och är den negativ får man [[Kvadratroten ur ett negativt tal *Why*|kvadratroten ur ett negativt tal]] vilket innebär att det '''saknas''' reella lösningar.</translate>  
  
 
<PGFTikz>
 
<PGFTikz>
Rad 355: Rad 361:
 
\end{axis}
 
\end{axis}
 
\node [font=\tiny,align=center,scale=0.9] at (0.6,-0.3)  {<translate><!--T:15-->
 
\node [font=\tiny,align=center,scale=0.9] at (0.6,-0.3)  {<translate><!--T:15-->
−
Diskriminanten\\är noll</translate>};
+
Diskriminanten\\är $0$</translate>};
 
\end{scope}
 
\end{scope}
  

Versionen från 27 augusti 2018 kl. 10.14

Begrepp

Antal lösningar till en andragradsekvation

Lösningarna till en andragradsekvation på formen kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen
Om funktionen har två nollställen har ekvationen två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Två nollställen

Ett nollställe

Inga nollställen

Med hjälp av -formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i -formeln:
Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.
Antal lösningar till andragradsekvation
{{ grade.displayTitle }}