Bevis för formeln för geometrisk summa

Formeln för att bestämma en geometrisk summa kan skrivas som nedan, där $k \neq = 1 .$

$a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}$

Vi kallar summan i vänsterledet för

s_{n}

så att vi får ekvationen:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1},

För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn

k .

Man får då följande två ekvationer:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n} (I) (II)

Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma förutom

a

och

a k^{n}

som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n} .

Om man subtraherar ekvation (I) från ekvation (II) kommer de gröna termerna att ta ut varandra. Det som därefter blir kvar kan skrivas om till formeln för att bestämma en geometrisk summa.

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n} (I) (II)

$(II):$ \Sub{(I)}

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k - s_{n} = a k + a k^{2} + a k^{3} \dots + a k^{n} - (a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1})

$(II):$ \FT

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k - s_{n} = a k^{n} - a

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_{n} .$

s_{n} \cdot k - s_{n} = a k^{n} - a

\BU{s_n}

s_{n} (k - 1) = a k^{n} - a

\DivEkv{(k-1)}

s_{n} = \frac{a k ^{n} - a}{k - 1}

\BU{a}

s_{n} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}

Men

s_{n}

var ju från början definierad som

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1}

vilket ger likheten

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} .

Q.E.D.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-=<translate>Bevis för formeln för geometrisk summa</translate>=
+=<translate><!--T:1-->
-<translate>Formeln för att bestämma en [[Geometrisk summa *Rules*|geometrisk summa]] kan skrivas som nedan, där $k \neq 1.$</translate>
+Bevis för formeln för geometrisk summa</translate>=
+<translate><!--T:2-->
+Formeln för att bestämma en [[Geometrisk summa *Rules*|geometrisk summa]] kan skrivas som nedan, där $k \neq 1.$</translate>
 <eqbox>
 $a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}$
 </eqbox>
-<translate>Vi kallar summan i vänsterledet för $s_n$ så att vi får ekvationen:</translate>
+<translate><!--T:3-->
+Vi kallar summan i vänsterledet för $s_n$ så att vi får ekvationen:</translate>
 \[
 s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1},
 \]
-<translate>För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn $k.$ Man får då följande två ekvationer:</translate>
+<translate><!--T:4-->
+För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn $k.$ Man får då följande två ekvationer:</translate>
 \[
 \StackEqII{\ \quad s_n=\ \ a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \g k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n}}
 \]
-<translate>Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma '''förutom''' $a$ och $ak^{n}$ som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:</translate>
+<translate><!--T:5-->
+Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma '''förutom''' $a$ och $ak^{n}$ som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:</translate>
 \[
 \StackEqIIb{\ \quad s_n=a+\colII{ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}}{s_n \g k=\quad \ \ \ \colII{ak+ak^2+ak^3+ \ldots } \quad +ak^{n}.}
 \]
-<translate>Om man subtraherar ekvation (I) från ekvation (II) kommer de gröna termerna att ta ut varandra. Det som därefter blir kvar kan skrivas om till formeln för att bestämma en geometrisk summa.</translate>
+<translate><!--T:6-->
+Om man subtraherar ekvation (I) från ekvation (II) kommer de gröna termerna att ta ut varandra. Det som därefter blir kvar kan skrivas om till formeln för att bestämma en geometrisk summa.</translate>
 <deduct mathmode=0>
@@ Rad 26: / Rad 32: @@
 </deduct>
-<translate>Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_n.$</translate>
+<translate><!--T:7-->
+Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_n.$</translate>
 <deduct>
@@ Rad 38: / Rad 45: @@
 </deduct>
-<translate>Men $s_n$ var ju från början definierad som $a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}$ vilket ger likheten</translate>
+<translate><!--T:8-->
+Men $s_n$ var ju från början definierad som $a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}$ vilket ger likheten</translate>
 \[
 a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}.

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Versionen från 23 januari 2018 kl. 10.34

Bevis för formeln för geometrisk summa

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}