Derivata

Derivatan av en funktion i en viss punkt är samma sak som lutningen för den tangent som kan dras genom punkten. Om tangentens lutning är positiv är även derivatan positiv, är lutningen negativ är derivatan negativ och där tangenten har lutningen $0$ är derivatan $0.$

Förstagradsfunktionen har samma derivata, $2,$ på hela grafen medan derivatans värde varierar för andragrads- och tredjegradsfunktionen. Punkter där derivatan är $0$ kallas för stationära punkter och dit hör förutom maximi- och minimipunkter även terrasspunkter. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Några vanliga beteckningar för derivatan av en funktion $f(x)$ är förutom $f^{\prime }(x)$ exempelvis $D(f(x))$ och $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}.$

Derivatans definition

Definitionen av derivatan i en punkt där $x=a,$ det vill säga $f^{\prime }(a),$ är gränsvärdet av en ändringskvot: Genom att sätta in funktionsvärdena $f(a+h)$ och $f(a)$ i täljaren och låta $h$ gå mot $0$ bestämmer man derivatans värde i $x=a.$

Bestämning och tolkning av derivatans värde

För att bestämma derivatans värde i en godtycklig punkt kan man t.ex.

• använda derivatans definition,
• använda deriveringsreglerna eller
• göra en grafisk uppskattning.

Ibland kan värdet tolkas som en momentan förändringshastighet, dvs. hur något förändras vid ett visst tillfälle. Ofta vill man bestämma eventuella extrempunkter till en funktion och eftersom derivatan i sådana är $0$ kan man använda detta för att hitta extrempunkternas koordinater.