Metod

Beräkna integral med area

Integraler kan tolkas som areor och man kan använda detta för att bestämma värdet av en integral, t.ex. 09f(x)dx. \int_0^9 f(x)\,\text dx. Grafen till f(x)f(x) visas i figuren.

Man börjar med att markera det eller de områden mellan grafen och xx-axeln som definieras av integralen. I detta fall ska integralen beräknas mellan xx-värdena 00 och 9,9, vilket motsvarar följande två områden.

Nu beräknar man arean av det eller de områden som markerats. Här är områdena rätvinkliga trianglar, så arean beräknas genom att man multiplicerar kateterna och dividerar med 2.2. Den gröna triangeln har sidorna 55 och 2.5,2.5, så arean över xx-axeln blir A1=52.52=6.25. A_1=\dfrac{5\cdot 2.5}{2}=6.25. Den röda triangeln har istället sidorna 44 och 2,2, så arean under xx-axeln blir A2=422=4. A_2=\dfrac{4\cdot2}{2}=4.

Värdet på integralen bestäms på olika sätt beroende på om den beskriver ett eller flera områden.

  • Om integralen beskriver ett område kommer arean på detta motsvara integralens värde. Kom ihåg att värdet är negativt om området ligger under xx-axeln.
  • Om integralen beskriver flera områden får man subtrahera de områden som ligger under xx-axeln från de som ligger ovanför. I detta fall subtraherar man alltså den röda arean från den gröna:

09f(x)dx=6.254=2.25. \displaystyle\int_{0}^{9}f(x) \, \text d x =6.25-4=2.25. Detta ger att integralens värde är 2.25.2.25.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}