Integraler

Ladda ner gratis
Lösningarna finns i appen
Android iOS
Uppgifter markerade med kräver Mathleaks premium för att visa i appen. Ladda ner Mathleaks app på Google Play eller iTunes AppStore
Sektioner
Primitiva funktioner
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Primitiva funktioner 4301 2
Primitiva funktioner 4302 2
Primitiva funktioner 4303 2
Primitiva funktioner 4304 2
Primitiva funktioner 4305 2
Primitiva funktioner 4306 2
Primitiva funktioner 4307 2
Primitiva funktioner 4308 2
Primitiva funktioner 4309 2
Primitiva funktioner 4310 2
Primitiva funktioner 4311 2
Primitiva funktioner 4312 2
Primitiva funktioner 4313 2
Primitiva funktioner 4314 3
Att beräkna areor med hjälp av integraler
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4315 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4316 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4317 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4318 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4319 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4320 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4321 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4322 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4323 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4324 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4325 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4326 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4327 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4328 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4329 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4330 2
Att beräkna areor med hjälp av integraler 4331 3
Räkneregler för integraler
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Räkneregler för integraler 4332 2
Räkneregler för integraler 4333 2
Räkneregler för integraler 4334 2
Räkneregler för integraler 4335 2
Räkneregler för integraler 4336 2
Räkneregler för integraler 4337 2
Räkneregler för integraler 4338 2
Räkneregler för integraler 4339 2
Räkneregler för integraler 4340 3
Räkneregler för integraler 4341 3
Arean av områden mellan två kurvor
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Arean av områden mellan två kurvor 4342 2
Arean av områden mellan två kurvor 4343 2
Arean av områden mellan två kurvor 4344 2
Arean av områden mellan två kurvor 4345 2
Arean av områden mellan två kurvor 4346 2
Arean av områden mellan två kurvor 4347 2
Arean av områden mellan två kurvor 4348 2
Arean av områden mellan två kurvor 4349 2
Arean av områden mellan två kurvor 4350 3
Tillämpningar av integraler
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Tillämpningar av integraler 4351 2
Tillämpningar av integraler 4352 2
Tillämpningar av integraler 4353 2
Tillämpningar av integraler 4354 2
Tillämpningar av integraler 4355 2
Tillämpningar av integraler 4356 2
Tillämpningar av integraler 4357 2
Tillämpningar av integraler 4358 2
Tillämpningar av integraler 4359 3
Tillämpningar av integraler 4360 3
Rotationskroppar
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Rotationskroppar 4361 2
Rotationskroppar 4362 2
Rotationskroppar 4363 2
Rotationskroppar 4364 2
Rotationskroppar 4365 2
Rotationskroppar 4366 2
Rotationskroppar 4367 2
Rotationskroppar 4368 2
Rotationskroppar 4369 2
Rotationskroppar 4370 2
Rotationskroppar 4371 3
Rotationskroppar 4372 3
Rotationskroppar 4373 3
Mathleaks Kurser

Integraler (Kurs 4) finns också i Mathleaks kurser, besök mathleaks.se/utbildning för teori, tester och övningar med lösningar.

Andra delkapitel i Asymptoter, kurvritning och integraler

Hjälp och forum

anonym
besvarad 2016-02-21 13:24
Hur märker man att arean under x-axeln och under x-axeln är lika stora utan grafritare?
anonym
besvarad 2016-02-21 13:24
Menar under och över.
ML Ragnar
besvarad 2016-02-21 13:56
Det är alltid bra att rita upp funktioner man räknar integraler av. Det behöver inte vara exakt, men åtminstone lite skissartat. Utseendet av y = cos(x) bör du känna till, och y = cos(2x) är exakt likadan men med halverad period (kurvan är dubbelt så hoptryckt). Vad händer då när man lägger på pi i funktionen y = cos(2x + pi)? Vinkeln ökar alltså med pi, eller ett halvt varv i enhetscirkeln. Cosinusvärdet blir det omvända, och därför kommer y = cos(2x) och y = cos(2x + pi) vara i perfekt ofas med varandra, dvs. när den ena når sin topp når den andra sitt minimum. Kurvorna är alltså helt identiska, men förskjutna precis ett halvt varv. På så sätt kan man lista ut att de ser ut som i bilden, och symmetrin innebär att områdena är lika stora. Hoppas det förtydligade saken!
ML Ragnar
besvarad 2016-02-21 14:40
Passade på att putsa lösningen lite.
Hej
besvarad 2016-04-17 10:04
Förstår inte varför man sätter in 0 i första lösningen och sedan -1 i andra lösningen i denna uppgift? Hur vet man att man ska göra det? Tacksam för förklaring.
ML Magnus
besvarad 2016-04-21 6:49
Vi har laddat upp en ny version av lösningen till den här uppgiften, där vi löser uppgiften på ett bättre sätt. Jag hoppas att den nya lösningen är tydligare än den gamla lösningen. Hör gärna av dig igen om det är något som är otydligt i den nya lösningen.
Hej
besvarad 2016-04-21 12:43
Tack det var enklare att förstå nu :)
Ray
besvarad 2016-04-17 16:47
f(x) = sinx/cos x f(x) = sinx * 1/cosx borde inte primitiva funktion då vara: F(x) = sinx*ln(cosx) ??
ML Ragnar
besvarad 2016-04-19 12:21
Nej, du kan inte integrera / derivera faktorer var för sig. Kom ihåg att när sin(x)*ln(cos(x)) ska deriveras måste du använda produktregeln (och även kedjeregeln) vilket innebär att du inte får ut sin(x)/cos(x) rakt av som man vill. Därför är knepet istället att inse att sin(x) / cos(x) är en derivata delat på sin ursprungsfunktion, alltså -u' / u, där u = cos(x). På så sätt kan vi inse att det är derivatan av -ln(cos(x)). Provderivera den så ser du att det funkar, och kom ihåg att använda kedjeregeln!
mary
besvarad 2016-04-23 8:33
Hej! Varför går det inte att ställa upp integralen för (3-√x)^2 inom intervallet x=0 och x=9 och sedan ta det multiplicerat med π? Alltså att man använder sig av arean mellan båda graferna.
ML Ragnar
besvarad 2016-04-24 16:16
Du kan ställa upp en integral för den gröna arean och integrera den, men integralen du föreslår gör inte detta. Skivmetoden som du försöker använda bygger på att man adderar en massa cirkelareor, och cirklar har ju arean pi*r^2. Detta gör vi t.ex. på flygplansnosen i lösningen, eftersom om man tänker sig att nosen skivas upp så bildas cirkulära skivor. Deras snittareor är det som integralen beskriver och lägger ihop. Men om du vill lägga ihop det gröna områdets snittytor på en gång så är de inte cirkulära. Är du med på att om du drar ett snitt genom hela cylindern så bildas en blå cirkel i mitten med en grön ring runt? Tjockleken på ringen varierar beroende på var du drar snittet någonstans, och du kan inte beskriva ringarean med en cirkelformel eftersom det inte är en cirkel. Arean av varje ring kan man få genom att ta cylinderns totala tvärsnittsarea pi*3^2 = 9pi och dra bort den mittcirkel som flygplansnosen täcker. Arean av den blå cirkeln är pi*(sqrt(x))^2 = xpi (precis som i lösningen). Varje ring har alltså arean 9pi - xpi, och då är integralen som summerar alla dessa: [Integral från 0 till 9] (9pi - xpi) dx, och den beräkningen ger samma sak som i lösningen =)
Hvitare
besvarad 2016-11-02 17:03
Kan man inte bara teckna integralen för nummer 2, med gränserna pi/4 och pi/2. Eller kan det bara gälla för arean? Jag menar att integralen under grafen (som är negativ) tas ut av en lika stor del av den positiva...
ML Ragnar
besvarad 2016-11-03 13:26
Absolut! Så kan man göra. Symmetrin gör ju att man kan hitta ett positivt område som är lika stort som det negativa, och då kan man helt enkelt strunta i de bitarna som tar ut varandra. Kvar blir, som du säger, området från x = pi/4 till x = pi/2.
Hvitare
besvarad 2016-11-03 14:28
Min miniräknare är inställd på radianer men den säger att sin (4pi)= -2 • 10^-13....
ML Ragnar
besvarad 2016-11-03 15:49
Ett av många skäl att inte använda räknaren i onödan! Jag antar att det beror på att den inte använder ett exakt värde på pi, utan bara pi till ett visst antal (13?) decimaler. Så när den multiplicerar med 4 förstoras det felet upp och den känner inte längre igen vinkeln som helt horisontell. Bara en gissning dock, men det är klart att svaret ska vara exakt noll. Miniräknare är bra att ha, men man ska inte lita blint på dem.
Hvitare
besvarad 2016-11-09 15:50
Vad händer med pi om man letar efter den primitiva funktionen till cos (2x+pi)?
Hvitare
besvarad 2016-11-09 15:51
*+, försvann tydligen.
Hvitare
besvarad 2016-11-09 15:51
Plustecknet försvann...
ML Ragnar
besvarad 2016-11-12 21:05
Ja, vi har för tillfället nåt strul med plustecknen. Det ska lösa sig i nästa version av ML. Ursäkta besväret! Ingenting händer med pi. Tänk åt andra hållet: vad händer med pi när samma funktion deriveras? Cos blir -sin, parentesuttrycket står kvar och så multiplicerar man med den inre derivatan som är 2. Pi gör varken till eller från, och samma sak gäller när vi bestämmer den primitiva.
godis
besvarad 2017-04-20 15:24
Hur kan man snabbt ta reda på att cos((5*pi)/(4)) är = -1/(rotenur2)?
ML Tina
besvarad 2017-04-21 6:31
Tänk enhetscirkeln. Vilken vinkel är 5pi/4? Det kan skrivas som (pi/4 +pi). pi/4 radianer är 45 grader och det har cosinusvärdet 1/rot(2). Sedan lägger man till pi radianer som är ett halvt varv. Då hamnar du på motsvarande vinkel i tredje kvadranten. I tredje kvadranten är på både x och y negativa, så därför blir cosinusvärdet för (pi+pi/4) också negativt, dvs. -1/rot(2). Hänger du med?
godis
besvarad 2017-04-20 15:31
På den alternativa lösningen längst ner står det att svaret ska vara dubbelt så stort som roten ur två men då blir väll svaret 2?
ML Tina
besvarad 2017-04-21 6:45
Nej, när man dubblerar något är det samma sak som att multiplicera med 2. Arean var rot(2) och därför är 2*rot(2) dubbelt så mycket som det. Däremot är rot(2)*rot(2) lika med 2, men det är ju inte det vi beräknar. Hänger du med?
||||||||||||
besvarad 2018-01-30 17:52
på b) är det okej att skriva 2/3lnx ist för 2lnx/3
ML Tina
besvarad 2018-01-31 7:14
Det beror på hur du menar. Om du undrar om man kan sätta ln(x) i nämnaren istället för täljaren så kan man *inte* det. Men man kan skriva det som F(x)= (2/3) * ln(x) om man vill.
||||||||||||
besvarad 2018-01-30 18:12
k=1 o ni skriver x-4? borde de nt vara f(x)=1-4
ML Tina
besvarad 2018-01-31 7:28
Nej. k-värdet är ju det som står framför x i räta linjens ekvation. Man hade möjligtvis kunnat skriva f(x)= 1*x -4, men eftersom 1*x är lika med x kan vi skriva det som f(x)=x-4.
||||||||||||
besvarad 2018-02-05 16:42
på c) är det ju -[cos x] o ni när ni skriver -cos pi - cos 0 så finns det ingen minus tecken vid cos 0? Det blir ändå rätt svar om man lägger ett till minus tecken bredvid cos 0 gör minus minus är + så de blir -cos pi +1=2
ML Tina
besvarad 2018-02-28 9:52
Jag hänger inte riktigt med på ditt resonemang, men notera att vi håller minustecknet i -[cos(x)] utanför parentesen hela vägen fram till sista beräkningssteget när vi beräknar -(-2)=2. Man kan givetvis flytta in det tidigare och då får man -cos(pi) +cos(0) vilket är lika med -(-1)+1 som givetvis också är lika med 2.
||||||||||||
besvarad 2018-02-07 16:37
förstog inte varför man subtraherar
ML Tina
besvarad 2018-02-28 10:17
Det gör vi för att den första integralen beräknar arean mellan den blå grafen och x-axeln. Men den är ju inte den area som efterfrågas, utan vi måste dra bort (subtrahera) den röda arean. Den röda arean beräknas med den andra integralen och därför subtraherar man den.
||||||||||||
besvarad 2018-02-07 16:49
kan vi inte beräkna denna som vi har gjort tidigare som t.ex på uppgift 4335?
ML Tina
besvarad 2018-02-28 10:51
Det skulle man kunna göra, men de sätten vi visar går lite snabbare så därför valde vi dem.
Hvitare
besvarad 2018-02-09 19:45
Hej! När ni sätter att funktionerna ska vara lika med varandra, borde inte "cos (x)" vara negativt? Eftersom -cos(x) är den primitiva funktionen av sin (x)?
ML Tina
besvarad 2018-02-28 14:50
Menar du i början? Nej, först vill vi bara hitta skärningspunkterna mellan cos(x) och sin(x). Det gör vi genom att undersöka när de är lika dvs. lösa ekvationen sin(x)=cos(x). Detta är innan vi börjar integrera så vi behöver inte bry oss om några primitiva funktioner än.
Hvitare
besvarad 2018-02-10 18:18
Hej! När vi integrerar får vi ju en obekant konstant också, men det behöver vi inte ta hänsyn till eller? Eftersom den ändå försvinner sen?
ML Tina
besvarad 2018-03-09 12:32
Ja, precis! När man integrerar behöver man inte ta med någon konstant eftersom den ändå kommer att försvinna sedan. Som en övning kan du ju lägga till t.ex. 6 i din primitiva funktion. Den kommer att subtraheras bort i samband med beräkningen. Det räcker alltså med att ha en primitiv funktion, men det spelar ingen roll vilken.
Hvitare
besvarad 2018-02-10 19:10
Hej! Hur kan man få ut intervaller utan miniräknaren? x(1)=2 men sedan får vi ju enbart veta att y= x...
Hvitare
besvarad 2018-02-10 19:12
Sätter man att kurvan y och linjen y ska vara lika får man ju att x=(+/-) 1...
||||||||||||
besvarad 2018-02-11 13:25
förstår liksom nt varför man tar just röda området o blåa området, varför tar man inte typ de området som är ovanför blåa området?
ML Tina
besvarad 2018-03-09 13:36
Hvitare: Bra fråga. Man skulle kunna tolka det som att den undre gränsen är -1, men då blir området oändligt stort, och då begränsas det inte av de kurvorna. Därför tittar man enbart i den första kvadranten. |||||||||||||: Då får man området som begränsas av y=x, x-axeln och x=2, men det är ju inte det som efterfrågas. Det begränsas ju också av y=1/x och det är därför vi gör den uppdelningen.
||||||||||||
besvarad 2018-02-11 13:28
finns det en primitiv funktion till x?
ML Tina
besvarad 2018-03-09 13:12
Ja. Tänk på att du kan skriva x som x^1. När man sedan hittar en primitiv funktion ökar du exponenten med 1 och delar med den nya exponenten. Då får du x^2/2. Om du testar att derivera denna så får du x.
Jpb
besvarad 2018-02-12 14:58
Hur kan svaret vara e^(1/4) när detta inte blir 1 när man slår det på räknaren?
ML Tina
besvarad 2018-03-09 13:46
Det som efterfrågas är vad den övre gränsen på integralen ska bli för att den ska bli 1. Du har rätt i att e^(1/4) inte är lika med 1, men det är som sagt inte det man frågar efter. Integralen ska bli 1, men det betyder inte att integralgränsen måste vara det.
||||||||||||
besvarad 2018-02-14 19:39
varför ställer vi in räknarwn till rad?
Majjebrajje
besvarad 2018-03-04 14:56
Ja undrar också
Majjebrajje
besvarad 2018-03-04 14:56
Fått svar än?
ML Ragnar
besvarad 2018-03-09 14:43
Det är inte tydligt i uppgiften, men funktionen de använder räknar i radianer. Det kan man se genom att försöka hitta maxpunkten vid t=10. Räknar man i grader får man: f(10) = 112*sin(0.15*10) = 2.93. Det här är ju långt från vad grafen visar, ca 110. Har man räknaren på radianer får man istället: f(10) = 112*sin(0.15*10) = 111.7. Så uppgiften använder en funktion som räknar i radianer, och för att inte få ett galet svar i slutändan måste vi ställa in räknaren som de gjort. Man ska ju beräkna cos(3) på ett ställe i lösningen, och det blir väldigt annorlunda beroende på om man räknar i radianer eller grader. Ursäkta det sena svaret!
Majjebrajje
besvarad 2018-03-04 14:53
Hur kan det bli +739 vid insättning av 20? Var kommer det andra minustecknet ifrånv
ML Tina
besvarad 2018-03-09 14:33
När vi sätter in 20 blir den första termen -2240*cos(0.15*20)/3. 0.15*20 är lika med 3 så vi får -2240*cos(3)/3 Eftersom cos(3) är ungefär -0.99 får vi -2240*(-0.99)/3 vilket är ungefär 739. Minustecknet försvinner alltså för att cos(3) är negativt och två negativa tal som multipliceras blir, som bekant, positivt.
Johan
besvarad 2018-03-18 11:10
(4315 a) varför räknar man inte ut primitiva funktionen av 4? Ska det inte bli 4xlnx?
Matte
besvarad 2018-03-22 21:12
4 är ju egentligen koefficienten, så du kan skriva 4 * 1/x o sen ta primitiv funktionen av det, då man bara skriver koefficienten rakt av.
Tina
besvarad 2018-04-17 10:16
Är det bara att pröva sig fram här
ML William
besvarad 2018-04-17 11:19
Hej! Ja, men tänk på att området under x-axeln ska vara större än områden ovanför x-axeln för att integralen ska bli negativ (står i lösningen). /William
mattemac
besvarad 2018-04-19 15:35
Hej! Varför fungerar det inte att placera konstanten 108 utanför integralen? Så att man endast integrerar funktionen sin ((pi•x)/12) + 320
mattemac
besvarad 2018-04-19 15:39
Beror det på att 108 endast är multiplicerat med sin och inte hela funktionen?
samin
besvarad 2018-10-30 14:07
På c) förstår inte hur man ska tänka. I boken har de inte sagt typ att k/(kx+a)=D(ln(kx+a)
ML Daniel
besvarad 2018-10-31 8:36
Precis, det stämmer att D(ln(kx + a)) = k/(kx + a). Vi kan sedan dividera båda leden med k för att få sambandet D(ln(kx + a) / k) = 1/(kx + a) som kan användas för att hitta den sökta primitiva funktionen. Det är detta som görs i vår lösning. Mvh Daniel
send help
besvarad 2020-03-27 7:40
På c) hur kan tredje steget vara en korrekt faktorisering i nämnaren?
samin
besvarad 2018-10-30 14:32
Är inte skärningspunkten i x axeln vart första derivatan är lika med 0? Kan man inte räkna ut vad c är då. Sedan är väll d, vart m är alltså, 1? Elr tänker jag helt fel
ML Daniel
besvarad 2018-10-31 8:39
Hej! I vår lösning finns det en förklaring kring hur man bör ta sig an uppgiften. Vilken del är det du inte förstår? Mvh Daniel
samin
besvarad 2018-11-01 11:44
Jag förstår bara inte varför man inte kan få fram c och d. Man ser väll vilket x värde där första derivatan är 0 genom den här grafen?
ML Daniel
besvarad 2018-11-02 7:48
Det vi har är f''(x), som vi avläser som f''(x) = 0.5x + 1. När vi ska hitta f'(x) integrerar vi och får f'(x) = 0.25x^2 + x + C. Värdet på C kan vi omöjligen avläsa utifrån f''(x), eftersom f''(x) endast beskriver lutningen hos f'(x), förskjutningen i höjdled, C, säger den inget om. Mvh Daniel
samin
besvarad 2018-11-01 13:16
På den första förklaringen varför kan man gör integralen från 0 till a? Måste man inte dela up?
ML Daniel
besvarad 2018-11-02 7:51
Hej! Om poängen var att beräkna den area som dessa områden tillsammans bildar så har du rätt i att man måste dela upp integralen. Men i det här fallet ska vi endast undersöka integralen från 0 till a, alltså är det bara att räkna på! Mvh Daniel
samin
besvarad 2018-11-05 13:18
I 4352 säger de att formeln är annorlunda. Ska man alltid använda den här formeln
samin
besvarad 2018-11-05 16:18
Kan man också räkna ut volumen för rektangeln genom att göra intergralen av y=3? Alltså (3)^2*pi. Elr är det bara en tillfällighet att jag kunde göra det
ta
besvarad 2019-12-02 17:45
Hur räknar man ut e^(x^2)?
ML William
besvarad 2019-12-11 15:38
Hej! Det görs med olika typer av numeriska metoder, tex. Riemannsumma. Det går även att använda miniräknaren. Läs mer om detta genom att söka på "Riemannsumma" eller "Beräkna integraler numeriskt på räknaren".
gash
besvarad 2019-12-11 17:05
I fall om K skulle vara 3? Skriver man då 3x?
ML William
besvarad 2020-01-03 12:20
Hej! Ja det stämmer mycket bra :)
send help
besvarad 2020-04-15 10:07
Varför kan man inte ta pi utanför integralen och sedan integrera 1-x^2 så det blir ln x^2 och sedan blir uttrycket istället pi[ln x^2] 1-e och därefter sätta in värdena?
ML William
besvarad 2020-04-16 7:46
Hej! Det kan man men var kommer 1-x^2 från och ln x^2?. Om vi plockar ut pi får vi 1/(x^2) vars primitiva är -x^(-1).
Har du en fråga eller behöver du hjälp med matten? Ladda ner Mathleaks app och ställ din fråga i forumet.