Extremvärden och derivata

Ladda ner gratis
Lösningarna finns i appen
Android iOS
Uppgifter markerade med kräver Mathleaks premium för att visa i appen. Ladda ner Mathleaks app på Google Play eller iTunes AppStore
Sektioner
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4201 1
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4202 1
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4203 1
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4204 1
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4205 1
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4206 1
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4207 2
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4208 2
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4209 2
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4210 2
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4211 3
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4212 3
Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 4213 3
Andraderivatan, konvex och konkav funktion
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4214 1
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4215 1
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4216 1
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4217 1
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4218 1
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4219 1
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4220 2
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4221 2
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4222 2
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4223 2
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4224 2
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4225 2
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4226 3
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4227 3
Andraderivatan, konvex och konkav funktion 4228 3
Andraderivatan och lokala extrempunkter
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4229 1
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4230 1
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4231 1
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4232 1
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4233 1
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4234 1
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4235 2
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4236 2
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4237 2
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4238 2
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4239 2
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4240 3
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4241 3
Andraderivatan och lokala extrempunkter 4242 3
Extremvärdesproblem
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Extremvärdesproblem 4243 1
Extremvärdesproblem 4244 1
Extremvärdesproblem 4245 1
Extremvärdesproblem 4246 1
Extremvärdesproblem 4247 1
Extremvärdesproblem 4248 1
Extremvärdesproblem 4249 1
Extremvärdesproblem 4250 1
Extremvärdesproblem 4251 2
Extremvärdesproblem 4252 2
Extremvärdesproblem 4253 2
Extremvärdesproblem 4254 2
Extremvärdesproblem 4255 2
Extremvärdesproblem 4256 2
Extremvärdesproblem 4257 2
Extremvärdesproblem 4258 3
Extremvärdesproblem 4259 3
Mathleaks Kurser

Förutom våra lösningar för din lärobok, har vi också vår egen teori, övningar och tester för Extremvärden och derivata (Kurs 3) i Mathleaks kurser. Prova det gratis här: mathleaks.se/utbildning.

Andra delkapitel i Extremvärden,grafen och derivatan

Hjälp och Forum

Denis
besvarad 2015-02-13 17:43
Jätte svårt att förstå hur man ska räkna för att bestämma intervallerna där dom är konvexa respektive konkava när andraderivatan har mer än bara ett nollställe. Måste jag alltid rita en graf då som ni gjorde och hur gör man det?
ML Ragnar
besvarad 2015-02-13 18:25
Det behöver du inte rita en graf för. Ta t ex uppgift b), där andraderivatan är f''(x) = 12x(x-3). Inflexionspunkterna ligger i x = 0 och x = 3. Intervallen som behöver undersökas är då x<0, 03. Då är det bara plocka ett x-värde från varje intervall och sätta in i andraderivatan: f''(-1) = 48 f''(1) = -24 f''(4) = 48 En positiv andraderivata betyder att kurvan buktar uppåt, dvs. är konvex. En negativ andraderivata betyder att kurvan buktar nedåt, dvs. är konkav. Eftersom f''(-1) och f''(4) gav positiva värden är kurvan alltså konvex på intervallen x<0 och x>3. f''(1) gav ett negativt värde, så kurvan är konkav i intervallet 0
dramaturg
besvarad 2015-07-04 18:56
Jag förstår det ni säger men jag undrar vad som blir fel med min utrräkning. Jag tänker att 12x^2 > 0 då x>0 och att 12x^2 < 0 då x<0
ML Ragnar
besvarad 2015-07-06 7:45
x^2 blir positivt oavsett om x är större eller mindre än noll. Testa t.ex. x = -2, vilket gör att x^2 = (-2)^2 = (-2) * (-2) = 4. Minustecknen tar ju ut varann. Därför blir även 12x^2 positivt, oavsett om x är större eller mindre än noll.
dramaturg
besvarad 2015-07-08 14:25
Hur vet man att a ska vara 1?
dramaturg
besvarad 2015-07-08 14:25
Är det för att det är den koefficienten man vill ha när man ska använda pq?
ML Tina
besvarad 2015-07-09 9:55
a behöver inte vara 1. Vi har fler okända konstanter än villkor så det finns oändligt många lösningar. Då kan vi välja en av konstanterna ganska valfritt och utifrån det bestämma de andra. Vi valde a=1 för att få en så enkel funktion som möjligt. Man hade kunnat välja t. ex. a=2 och hade då fått en annan funktion. Men det finns flera rätta svar på uppgiften så det fungerar det också. Det finns en ny version av lösningen nu så ta gärna en titt på den!
dramaturg
besvarad 2015-07-08 19:09
Jag fick samma svar alltså en kvadrat med sidan 7m men det står ju att den ska vara en rektangel. Så jag tänkte att den ana sidan är liiiite mindre än 7 och den andra liiiite mer än 7m
ML Ragnar
besvarad 2015-07-09 8:29
En kvadrat är också en rektangel! En rektangel är bara en fyrhörning med parallella sidor. En kvadrat är specialfallet då alla sidor är lika långa. Passade förresten på att snygga till lösningen lite.
dramaturg
besvarad 2015-07-10 17:24
Inflexionspunkten är x=ln(0.5) kan man då tänka att x>ln(0.5) så är det konvex. Alltså när man skriver att andraderivatan är lika med noll så kan man bara sätta ett olikhetstecken istället för lika med tecken och då kan man se när funktionen är konkav och konvex istället för att testa olika x värden
ML Ragnar
besvarad 2015-07-13 8:09
Mja, fast du måste veta vilken sida som är vilken också. Hur vet du att x > ln(0.5) är det konvexa intervallet och inte det konkava?
mary
besvarad 2015-10-26 14:47
Hej! Jag förstår inte varför facit fick att sidan är 200/6 m. Sidan är väl 100/3 m?
ML Ragnar
besvarad 2015-10-26 14:59
Hejhej! 200/6 och 100/3 är samma tal =) Man kan förkorta bråket 200/6 genom att dela både täljare och nämnare med 2, då får man 100/3. Men fortfarande samma värde alltså!
mary
besvarad 2015-10-26 15:24
Oj! Ja men det är klart! Tack så mycket! Haha var lite trött när jag läste facit
matte3Cpl
besvarad 2015-11-15 17:39
tror att den ska ritas för hand annars skulle den definitivt inte varit ett nivå 2 tal? Hur gör man det förhand? MVH
ML Ragnar
besvarad 2015-11-16 9:37
Om du vill rita graferna för hand kan man göra en värdetabell. Sätt då in lite olika x-värden (vanligen heltalsvärden omkring noll) i respektive funktion och beräkna vad de ger för y-värde. Markera ut punkterna och förbind med en kurva för varje funktion. Jag tror dock inte meningen är att man ska rita för hand. Uppgiften är att kommentera graferna, dvs. man ska förstå varför de ser ut som de gör och hur deras utseenden hänger ihop. Det är tillräckligt svårt utan att rita själv, tycker jag =)
matte3Cpl
besvarad 2015-11-16 12:59
hur kunde ni rita upp grafen bara genom att veta x=2? för att se att den är +0-
ML Ragnar
besvarad 2015-11-16 15:07
En rimlig fråga! Det kommer upp en ny version av lösningen imorgon bitti.
Anonym
besvarad 2017-01-25 11:11
stämmer det att dessa punkter verkligen är lokala min/max?
ML Tina
besvarad 2017-01-25 12:12
Ja det är det. I ändpunkten till vänster är de närbelägna funktionsvärdena större och därför är den punkten ett lokalt minimum. Derivatan behöver alltså inte vara 0 i lokala extrempunkter.
Berkan
besvarad 2017-01-26 15:14
varför blir -1 och 0, 0 för? på f'(x)? varför blir inte 12 och -3, 0?
ML Ragnar
besvarad 2017-01-26 16:27
För att lutningen är bara noll i x=-1 och x=0. Se sista bilden! I x=12 och x=-3 lutar funktionen uppåt, så derivatans värde blir större än noll där.
Berkan
besvarad 2017-01-30 13:27
varför börjar den från -3.5 för? ska den inte börja för -1.4?
ML Tina
besvarad 2017-01-31 6:47
Nej, vi beräknar att funktionerna har extrempunkter i x=-1.41 och x=1.41, men funktionerna är definierade för alla x, så graferna är egentligen oändligt stora. Nu kan man ju inte rita oändligt stora grafer så vi har ritat extrempunkterna, och lite till, i vårt koordinatsystem.
Berkan
besvarad 2017-01-31 9:53
jag skulle förstått om grafen hade en intervall, då kunde vi beräkna vart den börjar och vart den slutar. min börjar från -1.4 blir det fel ?
ML Tina
besvarad 2017-02-01 7:26
När man ritar grafer brukar man försöka att få med det intressanta på dem. I detta fallet är det extrempunkterna, så om du får med dem och lite till höger och vänster om dem så ska det nog räcka.
Berkan
besvarad 2017-02-01 16:52
fick till det! det var så att det fick inte vara 2 y-värden som jag gjorde, och därför så gör man åt vänster som gör så att det blir 1 y-värde
Berkan
besvarad 2017-02-04 17:48
hej! har en allmän fråga bara, vad är intervall värden alltså som i denna uppgift -2
ML Ragnar
besvarad 2017-02-05 13:25
"-2 < x < 4" betyder bara att x är ett tal mellan -2 och 4. I samband med funktioner kallas ett sånt intervall för funktionens *definitionsmängd*. Det betyder att dessa x-värden är de enda intressanta: Kanske antar funktionen ett jättestort värde i x=5, men det räknas ändå inte som "största värde" eftersom x-värdet 5 är större än 4, och därmed inte med i definitionsmängden. Om man inte anger ett sånt intervall betyder det att alla tal ingår i definitionsmängden. Då kan ett maximum eller minimum endast nås i en punkt där derivatan är noll. Då deriverar man alltså och sätter derivatan lika med noll, precis som i den här lösningen, men man skippar steget där man testar intervallets ändpunkter (eftersom intervallet inte HAR några ändpunkter när alla x ingår i definitionsmängden).
Berkan
besvarad 2017-02-08 11:17
så skulle det bli x=-1 x=2 om det INTE stog något intervall?
ML Ragnar
besvarad 2017-02-09 15:53
Nej, då skulle det bli "max och min saknas". Man får ta det lite från fall till fall! I det här fallet är det en tredjegradsfunktion, och utan intervall kan sådana alltid nå hur stora eller små värden som helst (titta på grafen!). De *har* alltså inget största eller minsta värde. Däremot kan de, som i det här fallet, ha *lokala* max- eller minpunkter, dvs. punkter som ligger ovanför eller nedanför alla kringliggande punkter på kurvan. Det skulle då vara x=-1 och x=2.
tati
besvarad 2017-02-11 13:20
kan ni göra en tydligare bild av vad konkav & konvex är, väldigt svärt att förstå vart tangenterna ska ligga som ni beskriver. Förstod det nu :) Ett tips är att rita tangenter för förtydligande
ML Tina
besvarad 2017-02-13 8:48
Ja, det ligger nu uppe en ny version som förhoppningsvis är lite tydligare, och lite mindre teknisk. Fråga gärna om det är något som är oklart.
ahme63
besvarad 2017-03-13 19:48
Detta är fel, extremvärden i boken är -2 och 2. Det kanske är min upplaga som är fel annars.
ML Tina
besvarad 2017-03-14 8:43
Uppgiften i den bok vi har använt stämmer överens med lösningen. Vi kanske har olika utgåvor av boken. Du kan maila mig (tina@mathleaks.se) med en bild på hur uppgiften ser ut i din bok samt vilken upplaga och tryckning du har så kan vi uppdatera lösningen.
Tina
besvarad 2017-10-31 7:49
Jag fattar inte hur man kan se att inflexionspunkten ligger på (1,0). Jag vet att f”(x) = 0 i inflexionspunkten men jag vet inte funktionen och kan därför inte derivera. Det jag inte fattar är varför den är (1,0)? I sånna uppgifter där man inte vet funktionen och kan därmed inte derivera hur ska man då tänka för att hitta inflexionspunkten?
ML Tina
besvarad 2017-11-06 8:07
Att se en inflexionspunkt kräver ibland lite träning, men man kan säga att grafen svänger i den punkten (men det är inte en extrempunkt), lite grann som i mitten på ett 'S'. Det här är lite överkurs men för tredjegradsfunktioner med två extrempunkter, vilket denna har, ligger inflexionspunkten alltid mittemellan extrempunkterna.
Tina
besvarad 2017-11-03 13:49
Hej ska man inte på uppgift a) svara i vilket intervall det gäller som man gjorde i 4251 a)?
ML Tina
besvarad 2017-11-08 7:14
Bra fråga! Man bör i alla fall inte få fel om man tar med det. Vi har valt att svara som facit i boken och där har man valt att ange definitionsmängden i 4251, men inte i 4253. Men eftersom man inte angett i uppgiften att man ska ta med definitionsmängden tror jag inte att man hade fått fel om man inte tagit med den.
Tina
besvarad 2017-11-13 19:52
På uppgift c) menar ni då att lutningen blir mindre och mindre efter x = 2,5?
ML Tina
besvarad 2017-11-14 7:38
Den blir faktiskt mindre och mindre för alla x, men vid x=2.5 går den från att vara positiv till att vara negativ, vilket vi ser i f'(x) som en maximipunkt.
Tina
besvarad 2017-11-13 20:11
Jag fattar inte på a) hur alla funktioner där b kan vars vilket tal som helst? Hur kan man dra den slutsatsen?
Tina
besvarad 2017-11-13 20:24
Sen en annan fråga om man ska jämföra uppgift a) med uppgift b) så är det i uppgift a) har vi två villkor och bestämde därför två konstanttermer medan i uppgift b) har vi fyra villkor och därför behöver vi bestämma alla fyra konstanttermer. Kan man alltid tänka så?
Tina
besvarad 2017-11-18 20:41
Hej jag har en snabb fråga , när ska man skriva vad x kan vara mellan i ett intervall som ni gjorde i a)? För andra liknande uppgifter har man inte gjort så som t ex uppgift 4253
ML Tina
besvarad 2017-11-20 13:15
Om det inte uttryckligen står att man ska göra det kan man nog räkna med att man inte behöver. Däremot är det aldrig fel att ange definitionsmängden för en funktion.
samin
besvarad 2018-01-27 13:14
Jag förstår inte hur ett lokalt minimum/maximum inte är det minsta/största värdet inom intervallet
ML Tina
besvarad 2018-01-29 8:22
Det är det vi förklarar i lösningen. Då får gärna precisera vilken del av lösningen du inte hänger med i. :)
SM
besvarad 2018-02-02 12:25
Hej! Jag förstår inte helt hur man ska motivera för att visa att ett lokalt minimum kan vara större än ett lokalt maximum, på samma sätt som varför ett lokalt maximum kan vara större än ett lokalt minimum. Jag har sett funktion med dessa formuleringar, men förstår bara inte hur man ska motivera eller hur ingående man egentligen ska förklara. Mvh
ML Ragnar
besvarad 2018-03-09 14:02
Ett sätt att förklara det är genom att skilja på *lokala* och *globala* maxpunkter (eller minpunkter). En global maxpunkt antar det allra största värdet av alla punkter, och då kan den förstås inte ha en minpunkt (eller någon annan punkt för den delen) som ligger högre upp. En *lokal* maxpunkt däremot behöver bara vara större än punkterna precis intill. Då är det fullt tillåtet att det längre bort på kurvan finns en *lokal* minpunkt som ändå ligger högre upp. Rita t.ex. kurvan y = sin(x) + 0.5x på räknaren så ser du att det finns "gropar" som ligger ovanför "kullar".
SM
besvarad 2018-02-17 14:14
Hej! Undrar varför man inte är intresserad av a=0, då det finns i origo. Räknas inte origo som en skärningspunkt, då båda väl passerar origo? Tack på förhand! Mvh
ML Ragnar
besvarad 2018-03-09 15:05
Origo är ju den lokala minimipunkten, och du undrar alltså om inte det kan vara tangeringspunkt också? Jo det skulle man kunna tänka sig, men i uppgiften skriver de att linjen som går genom minimipunkten ska tangera i en *annan* punkt. Det blir ju inte en annan punkt om man dubbelanvänder origo =)
samin
besvarad 2018-03-13 13:30
Jag får -2 och 2 som extrempunkter
ML William
besvarad 2018-04-17 6:58
Hej! För att bestämma inflexionspunkterna vill vi undersöka var f''(x) = 0 och det är då grafen för derivatan byter tecken. Från grafen kan vi se att det sker när x = -1 och x = 1.5. Tänk på att ett steg i x-led är två rutor i grafen. /William
samin
besvarad 2018-03-14 14:51
Jag förstår ej svaret, är inte definition av inflexionpunkter att andra derivatan är lika med noll. När x=0 så är andra derivatan like med noll men den är fortfarande positiv på båda sidorna, så det är inte en inflexionpunkt men enligt definitionen är den det?
ML William
besvarad 2018-04-17 7:24
Hej! Definitionen är att om vi vet att det är en inflexionspunkt så är f''(x) = 0. Vi kan inte säga tvärtom, att om f''(x) = 0 är det en inflexionspunkt. Då måste vi alltid undersöka när andraderivatan byter tecken. I det här fallet är f''(x) = 0 för x = 0 men den byter inte tecken. Jag har uppdaterat facit så det blir tydligare. /William
send help
besvarad 2019-10-19 5:51
Varför kan man inte ta x(14-x)=28 och sedan förenkla för att köra pq-formeln för att få ut nollställena? Förstår inte hur man kan tänka bort 28? Går det även i andra situationer om man faktoriserar och flyttar över q till andra sidan?
ML William
besvarad 2019-10-24 14:22
Hej! Vi tänker inte bort 28 utan använder omkretsen när vi skriver om uttrycket för den långa sidan, y. Då går vi från 28 = 2x + 2y till y = 14 - x. Sen använder vi detta uttryck i formeln för arean A = xy. Det ger oss A = x(14-x). För att hitta symmterilinjen vill vi hitta nollställena. Alltså sätter vi ekvationen lika med 0. Det har alltså inget att göra med omkretsen som är 28. Den har vi redan använt oss av. Hoppas det blev tydligare nu :)
hvitare
besvarad 2020-09-13 12:56
Hej! Om inte största värdet ingått i intervallet, varför hade inte då största vädret hamnat i x=-1 som är grafens maximipunkt? De hade ett sånt exempel i introduktionen, att det största värdet i intervallet inte ingick (då x=2), och största värdet hamnade då tydligen inte i maximipunkten!
hvitare
besvarad 2020-09-13 15:34
Hej! Största värdet saknas väl eftersom det inte ingår i intervallet?
hvitare
besvarad 2020-10-18 19:03
Visst är det väl så?^^
hvitare
besvarad 2020-09-15 16:55
Hej! Men en terasspunkt kan då inte räknas som en extrempunkt? Även om derivatans lutning där är 0? Och intervallets ändpunkter räknas alltså som extrempunkter?
hvitare
besvarad 2020-09-16 13:59
Hej! Vi behöver inte kolla andraderivatan så att detta är ett maxvärde då? Och om nån av intervallets ändpunkter varit större, hade det saknats ett största värde då?
hvitare
besvarad 2020-10-18 19:03
Visst är det väl så??^^
Har du en fråga eller behöver du hjälp med matten? Ladda ner Mathleaks app och ställ din fråga i forumet.