Vad säger förstaderivatan om grafen?

Ladda ner gratis
Lösningarna finns i appen
Android iOS
Uppgifter markerade med kräver Mathleaks premium för att visa i appen. Ladda ner Mathleaks app på Google Play eller iTunes AppStore
Sektioner
Extrempunkter och extremvärden
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Extrempunkter och extremvärden 3101 1
Extrempunkter och extremvärden 3102 1
Extrempunkter och extremvärden 3103 1
Extrempunkter och extremvärden 3104 2
Växande eller avtagande
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Växande eller avtagande 3107 1
Växande eller avtagande 3108 1
Växande eller avtagande 3109 1
Växande eller avtagande 3110 1
Växande eller avtagande 3111 2
Växande eller avtagande 3112 2
Växande eller avtagande 3113 2
Växande eller avtagande 3114 2
Förstaderivatan och grafen
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Förstaderivatan och grafen 3116 1
Förstaderivatan och grafen 3117 1
Förstaderivatan och grafen 3118 1
Förstaderivatan och grafen 3119 1
Förstaderivatan och grafen 3120 1
Förstaderivatan och grafen 3121 1
Förstaderivatan och grafen 3122 2
Förstaderivatan och grafen 3123 2
Förstaderivatan och grafen 3124 2
Förstaderivatan och grafen 3125 3
Förstaderivatan och grafen 3126 3
Förstaderivatan och grafen 3127 3
Förstaderivatan och grafen 3128 3
Skissa grafer
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Skissa grafer 3129 1
Skissa grafer 3130 1
Skissa grafer 3131 1
Skissa grafer 3132 1
Skissa grafer 3133 1
Skissa grafer 3134 1
Skissa grafer 3135 2
Skissa grafer 3136 2
Skissa grafer 3137 2
Skissa grafer 3138 2
Skissa grafer 3139 2
Skissa grafer 3140 2
Skissa grafer 3141 3
Skissa grafer 3142 3
Största och minsta värde
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Största och minsta värde 3145 1
Största och minsta värde 3146 1
Största och minsta värde 3147 1
Största och minsta värde 3148 1
Största och minsta värde 3149 1
Största och minsta värde 3150 1
Största och minsta värde 3151 1
Största och minsta värde 3152 2
Största och minsta värde 3153 2
Största och minsta värde 3154 2
Största och minsta värde 3155 2
Största och minsta värde 3156 3
Största och minsta värde 3157 3
Mathleaks Kurser

Vad säger förstaderivatan om grafen? (Kurs 3) finns också i Mathleaks kurser, besök mathleaks.se/utbildning för teori, tester och övningar med lösningar.

Hjälp och forum

Larsa
besvarad 2015-04-22 15:02
I teckentabellen står det 4/3 på f(x). Det ska väll stå 1, kolla på grafen som ni ritat i uppgift a.
ML Tina
besvarad 2015-04-23 9:56
Du har rätt, tack för påpekandet! Det finns nu en ny version av lösningen.
vill bli expert
besvarad 2015-10-11 14:57
Hej! Skulle ni kunna förklara den på ett annat sätt? Alltså jag menar om det går att sätta in koordinaterna i en funktion eller vilket sätt som helst.
ML Ragnar
besvarad 2015-10-12 15:03
Det hade vi gärna gjort, men vi kan inte komma nåt annat sätt utan att göra det väldigt krångligt. Istället har vi gjort ett försök att få lösningen tydligare, så nu ligger en ny version uppe med lite bilder som ska förtydliga resonemanget. Hoppas det rätade ut dina frågetecken! Fråga gärna annars.
vill bli expert
besvarad 2015-10-29 19:32
Hej! Känner mig lite förvirrad nu. När sätter man in x-värdet i en funktion respektive derivatan med syfte på att få veta om en graf är växande eller avtagande? Jag har sett några uppgifter där man satt in x-värdet då man skulle få fram hur grafen runt y'=0 såg ut. Jag kommer riktigt inte ihåg i vilket sammanhang det var men jag såg att man satt in x-värdet i båda en derivat och själva funktionen. Skulle ni kunna hjälpa mig med det? Tack!
ML Ragnar
besvarad 2015-10-30 10:51
Jag lyckas inte helt få klarhet i vad du funderar över, men jag gör ett försök att förtydliga några saker. Ett x-värde sätts in i derivatan när vi vill veta vilken lutning kurvan har i en punkt med det x-värdet. Ibland vill vi veta den exakta lutningen och ibland vill vi bara veta lutningens tecken (dvs huruvida kurvan lutar uppåt eller nedåt). När vi gör en teckentabell bryr vi oss t.ex. inte om den exakta lutningen. Om x=3 är en extrempunkt så är det bra att ta reda på om kurvan lutar *uppåt* innan den når till x=3 och *nedåt* efter, vilket då motsvarar en maxpunkt. Om lutningarna är tvärtom så är det en minpunkt. Detta kan man alltså ta reda på genom att sätta in t.ex. x=2.9 och x=3.1 i derivatan och se vad derivatans tecken blir för dessa två. Ett annat sätt att lösa samma problem är att sätta in de kringliggande x-värdena, dvs. x=2.9 och x=3.1, i huvudfunktionen istället för derivatan. Anta t.ex. att extrempunkten är (3,4). Om vi sätter in våra x-värden och får ut att kurvan går genom punkterna (2.9,3.8) och (3.1,3.8) så verkar det tydligt att (3,4) är en maxpunkt, eftersom kringliggande punkter ligger nedanför (y-koordinaten är mindre). Så det jag tror du pratar om är två olika metoder för att göra samma sak. Ibland kanske den ena är lämpligare än den andra. Många mattelärare föredrar nog att man använder sig av derivatan så mycket som möjligt för att visa att man förstått vad den innebär.
vill bli expert
besvarad 2015-10-31 20:29
Ja, du förklarat precis det jag behövde men visste inte hur jag skulle formulera mig då jag själv nästan inte visste vad jag pratade om, om ni nu förstår mig. Det du förklarade hade verkligen förvirrat mig men nu är det okej. Ibland behövs det en liten och enkel förklaring istället att göra massa uppgifter utan att veta vad ens man gör. Tack för hjälpen! Glad att ni finns!
vill bli expert
besvarad 2015-11-01 1:36
Tycker att det nästan borde varit bättre om ni lagt till en funktion i just denna delen så att man kunde ändra något man skrivit fel ifall man ville då när man skriver till er.
ML Ragnar
besvarad 2015-11-01 7:11
Bra förslag, ska vidarebefordra det till tekniknissarna :)
vill bli expert
besvarad 2015-10-29 19:35
Jag menar naturligtvis teckentabell. Hoppas att ni hänger med med mina krångliga meningar!
ML Ragnar
besvarad 2015-10-30 10:53
Finns ett svar nu, hoppas det besvarar dina funderingar. I fortsättningen, försök hålla dig till samma tråd istället för att starta två olika på samma uppgift, då blir det lättare för oss att hålla koll på diskussionen =) Men jag vet att interfacet inte är supertydligt.
Trogen kund
besvarad 2016-10-11 18:35
Men hallå! Eftersom den går uppåt så borde den väll bara vara positiv hela tiden? blir galen på denna uppgift!!!!!
ML Ragnar
besvarad 2016-10-12 6:59
Jag är inte helt med på hur du menar, men f(x) går uppåt från x=-3 till x=3. Tittar man på derivatans graf så ligger den över x-axeln, dvs är positiv, mellan x=-3 och x=3, så det stämmer. Utanför det intervallet går derivatans kurva under x-axeln och blir negativ, och kollar man på grafen till f(x) (sista bilden) så lutar den ju nedåt i ändarna. Så, positiva y-värden på derivatan betyder att f(x) lutar uppåt, negativa y-värden på derivatan betyder att f(x) lutar nedåt. Förklarade det någonting? Försök annars förtydliga var jag tappar dig =)
Trogen kund
besvarad 2016-10-12 11:43
Tack, förstår tyvärr inte, det tar för mycket energi om jag ska förstå. Så jag skiter i denna uppgift XD
tjena
besvarad 2016-10-17 13:09
svårt att förstå B) vad gör det när för funktionen f'(x) skär y-axeln
ML Ragnar
besvarad 2016-10-25 11:03
Varje punkt på kurvan till f'(x) beskriver lutningen i motsvarande punkt på kurvan f(x). Att f'(x) går genom (0,3) betyder att för f(x) är lutningen 3 i punkten där x=0. Dvs, f(x) skär y-axeln med lutningen 3.
tjena
besvarad 2016-10-20 11:03
vad menar de med absolutbelopp ? av x
ML Ragnar
besvarad 2016-10-25 11:29
"Stora |x|" är bara ett annat sätt att säga "stora positiva eller negativa x". x^3 blir den mest påverkande termen när man är långt från origo, oavsett om man ser från höger eller vänster. Så därför kommer absolutbeloppen in!
tjena
besvarad 2016-10-24 18:54
hur tolkar ni svaret på A) ? fattar inte intervallet. ska inte svaret bli plus minus roten ur 3
ML Ragnar
besvarad 2016-10-25 11:42
Intervallet a^2 < 3 beskriver alla tal vars kvadrat är mindre än 3. T.ex. ingår talen a = 1 och a = -1, eftersom 1^2 = 1 vilket är mindre än 3, och (-1)^2 = 1 är också mindre än 3. a = 2 och a = -2 ingår inte, eftersom 2^2 = 4 och (-2)^2 = 4, vilket förstås är mer än 3. Eftersom rot(3)^2 = 3 så kommer alla tal som är *mindre* än roten ur 3 ge en kvadrat som är mindre än 3, OM talen också är större än _minus_ roten ur 3. Så intervallet a^2 < 3 är samma sak som -rot(3) < a < rot(3), dvs alla tal mellan -rot(3) och rot(3). Lite knepigt att förklara, om det fortfarande känns oklart, testa att knappa på räknaren. Hur stora eller små tal kan du sätta in som fortfarande ger mindre än 3 när de multipliceras med sig själva?
tjena
besvarad 2016-10-26 18:54
hon brode ha rätt eftersom om man deriverar och ser när lutningen är noll så får man 3 st X värde när y=0
ML Ragnar
besvarad 2016-10-27 8:20
Det betyder att derivatan har tre nollställen, men det är inte f'(x) som ska undersökas utan f(x). Det du har kommit fram till betyder att lutningen är noll på tre ställen, dvs. att f(x) har tre extrempunkter, vilket också syns i vår graf.
tjena
besvarad 2016-10-27 17:08
jaahaa tack
tjena
besvarad 2016-10-27 17:59
vilken kvadreringsregel använde ni ? på a) för att det där sättet har jag inte sett i boken
ML Ragnar
besvarad 2016-10-28 12:22
Det var ingen kvadreringsregel, vi hade faktoriserat "med ögat". Det är förstås inte så hjälpsamt. Det ligger en ny version uppe nu där vi använder PQ-formeln istället!
tjena
besvarad 2016-10-27 18:02
på c) hur vet man att intv i -2 till 4 måste y vara större än 0 ?
ML Ragnar
besvarad 2016-10-28 12:26
Se den nya lösningen! Genom att plocka ett x-värde från varje intervall (de intervall som nollställena skapar) kan vi se om kurvan är ovanför eller under x-axeln på varje intervall. Våra insättningar visar att y är större än noll för x-värden mellan -2 och 0, men också mellan 0 och 4. De två intervallen kan slås ihop till bara intervallet x=-2 till x=4.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-10-28 0:47
Om det endast skulle gå åt oändligheten på vänstersida (dvs då x>d) , kan man då ange ett globalt maximivärde som oändligheten? Eller gäller det samma sak här att det inte finns ett globalt maximivärde?
MAT(E-IK)
besvarad 2017-10-28 0:49
*Måste ett globalt maximivärde vara ett fixt värde?
ML Tina
besvarad 2017-11-01 8:09
Ett globalt maximivärde måste vara ett bestämt värde, ja, och oändligheten är inget värde. Hade grafen gått nedåt på ena sidan och uppåt på andra, hade funktionen alltså varken haft minsta eller största värde.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-10-29 23:45
Hur menar ni med att funktionen avtar i punkten där x = 0 respektive x = 2, derivatan är ju 0 där? Dvs kurvan har vänt riktning och är istället horisontell där och inte avtagande...
ML Tina
besvarad 2017-11-02 7:46
Menar du i a)-uppgiften där vi har med x=0 och x=2 i intervallen? När man anger var en funktion är växande eller avtagande gör man alltid det med ett intervall. En punkt i sig är alltså inte växande eller avtagande. Vi säger att funktionen är avtagande *till och med* x=0, och *från och med* x=2. Boken har gett en något förenklad version av definitionen för växande och avtagande vilket kan leda till en del missförstånd om huruvida extrempunkterna ska vara med i sådana intervall. Däremot verkar man vara ganska snäll i rättningen av sådana här uppgifter (i alla fall i tidigare nationella prov) och jag tror att man får rätt både om man svarar som vi gjort eller om man svarar som boken gör.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-10-30 9:36
a) Kan man inte även konstruera en tredjegradare som har en terasspunkt? Det är ju ingen extrempunkt...
MAT(E-IK)
besvarad 2017-10-30 18:04
Finns det ingen alternativ metod på a)? Istället för att få fram olikheten
ML Tina
besvarad 2017-11-06 7:43
Jo, det kan man göra. T.ex. har y=x^3 en terrasspunkt, men ingen extrempunkt, men det förutsätter ju att man vet hur den ser ut. Det sättet som vi visar fungerar alltid.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-11-03 6:44
Vrf tar man upp punkten då x = -1/3 i b)? Det är ju en maximipunkt & funktionsvärdet i den punkten kan alltså inte vara funktionens minsta värde
ML Tina
besvarad 2017-11-07 7:34
Hur vet du att det är en maximipunkt? Vi har beräknat att derivatan är 0 när x=-1/3, men inte bestämt vilken karaktär den har, dvs. om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. Därför tar vi med den eftersom den ligger i intervallet -1≤x≤0. Man skulle kunna göra en teckentabell för att avgöra karaktären, men det räcker faktiskt med att jämföra funktionsvärdena i ändpunkterna och de punkter där derivatan är 0, eftersom de är de enda ställena funktionens största och/eller minsta värde kan finnas.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-11-03 7:43
Hur menar ni med grafen nedanför? Menar ni alltså om vertikala y-axeln görs om till f'(x), dvs då derivatan beror av x så blir linjen som en horisontell linje för alla x-värdena i intervallet?
ML Tina
besvarad 2017-11-08 7:05
Ja, precis! Vi får ju veta att f'(x)=2, dvs. den är 2 för alla x. Om man ritar in det i ett koordinatsystem blir det en horisontell linje.
Har du en fråga eller behöver du hjälp med matten? Ladda ner Mathleaks app och ställ din fråga i forumet.